——借助几何模型，培养建模能力

  摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出将模型作为学生的核心素养。模型思想是数学基本思想之一，模型的产生、发展、形成的过程，是数学知识建立和应用的过程，也是儿童数学学习展开、推进、提升的过程。本文将小学几何直观能力发展大致分为四个阶段：孕育阶段→过渡阶段→萌发阶段→生长阶段。各个阶段培养的侧重点应有所不同，本文基于小学数学实践，尝试对不同水平的建模素养以二年级除法单元教学为例进行解释探讨。
　　关键词：数学建模；几何直观；核心素养  
　　数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终生发展和社会发展需要的关键能力与思维品质。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十大核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。其中，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。这里的解释并非严格的概念界定，但我们可以从中把握几个关键特征：其一，几何直观是一种描述和解决数学问题的方法，它与“直观几何”的区别在于，后者是指几何学中的一个研究领域，主要研究包括认识图形，进行立体图形与平面图形的转换等内容。其二，“几何”二字应理解为研究工具，即几何直观是借助几何图形的形象关系来研究问题的，这就体现了与实物直观（以实物为直观工具，如小棒，正方体盒子，茶杯等）的差异。
　　要想使学生有效建构模型，首先要引导学生从生活原型中提炼出数学模型，并在初步感知模型的基础上逐步向建构模型过渡。而几何直观无疑是帮助学生直接感知模型的有效载体。
　　环节一：借助几何直观，孕育模型
　　几何直观能力的孕育阶段主要是指一、二年级。这个阶段的儿童以动作思维、形象思维为主，数学学习很大程度上依赖直观教学。这时的直观教学主要借助实物、图片、符号等直观载体，从严格意义上讲还不能称之为几何直观（以几何图形的形象关系为直观载体），因而适当进行抽象和提炼，由实物、符号直观逐步向图形直观过渡，模型思想主要体现在从实际问题中抽象出数量以及用数量关系解决问题的过程中。
　　寻找图形代替实物，表征除法算式的意义
　　课件出示情境图，小朋友们仔细观察，并引出问题。








　　提问：观察主题图，你知道了哪些信息？
　　生：要把12个苹果分成三堆，每堆一样多。
　　师：当我们没有苹果的时候该怎么办？可以用什么代替它？如果用圆片，需要几个圆片，为什么？
　　生：用圆片，因为苹果是圆的。要和苹果的数量一样多，就是12个。
　　师：除了圆片，还可以用什么代替？只要怎么样就可以？
　　生：用三角形的卡片。数量要和苹果的数量一样。
　　师：请从盒子里拿出你需要的材料来分一分。
　　以上环节，从几何直观的角度看，由实物抽象出数量，并且一一对应。除法在应用时一般出现两种情况：一种是把一个数按每几个分成一份，求分成几份；另一种是把一个数平均分成几份，求每份是多少。由于问题角度不同，因此引出分的方法也不同，但所分得的每份是均等的，因此建立除法的基本模型是把一些物体进行平均分。
　　环节二：借助几何直观，过渡模型
　　直观是对事物的直接判断，是属于经验层面的。从某种意义上来说，几何直观就是数学活动经验不断积累所形成的数学素养。数学活动经验主要包括两类：即实践的经验和思维的经验，两者都有赖于学生参与数学活动，获得切身的过程性体验。这个环节是学生建立数学模型的重要阶段。引导学生初步感知模型后，学生对该模型的理解需要累积和丰厚，对模型的建构需要过程和感悟。因此，教师要提供更多类似、系列的学习材料来为学生的感悟造势。
　　画图表征除法算式的意义
　　师：同学们，我们已经学过了除法,出示除法算式“18÷6=3”，这道除法算式表示什么意思？你能不能画图表示？
　　（1）学生画图表示18÷6=3的意思。
　　（2）收集学生不同的作品进行展示。













　　在这一环节中，教师先组织学生完成画图，引导学生整体观察，自主发现画图这一解决问题的实用性，又让学生体会到玩数学、发现数学的乐趣。而通过画图表征，可以直观形象地解释“等分除”与“包含除”，帮助学生理解除法算式的意义。
　　环节三：借助几何直观，萌发模型
　　在除法学习这一数学模型的具体运用中，学生更多地是停留在从一种形式到另一种形式的机械认识，而缺乏对除法这一模型的逆向运用的一种直观的感知和深度理解。因此，如何进一步借助几何直观帮助学生顺利的实现这一过渡，同样是本节课的重要环节。
　　编题表征除法算式的意义
　　师：刚才我们通过画图，理解了18÷6=3表示的意思。你能给它配上实际的情境应用吗？试着用文字表示出来。
　　学生独立编写，四人小组交流。
　　交流要求：
　　（1）说一说自己编写的应用问题；
　　（2）想一想组内成员编写的题目是否正确；
　　（3）议一议组内编写的题目有哪些相同和不同的地方。



























　　师：这些题目都能用18÷6=3来计算的吗？有没有编出不能用18÷6=3来计算的？
　　师：我们能给这些题目分分类吗？
　　教师重点讲评第二种分类，比较同组题之间的相同点与另一组题之间的不同点。
　　小结：看来18÷6=3不仅可以表示把18平均分成6份，每份3个；还可以表示把18按每6个分一组分成3组；也就是一类是告诉我们总数和份数，求每份是多少；一类是告诉我们总数和每份数，求平均分成几份。
　　环节四：借助几何直观，生长模型
　　练习巩固环节，笔者选择了对比练习和题组训练，让学生尝试练习，并在练习的过程中抽概括转化，灵活运用除法模型，让学生意识到数学模型的价值，体会形式变，本质不变，从而培养数学模型素养。
　　对比训练












　　学生独立练习、核对，分析算式表示的意思。教师引导体会解决问题的三步骤：知道了什么？怎么解答？解答正确吗？不同的练习有不同的定位目标。此题重在对比分析，巩固平均分的两种分法，加深对除法算式意义的理解，同时渗透完整的应用解题过程。
　　题组训练
　　（1）猴妈妈给4只小猴分桃子，每只小猴分到6个桃，猴妈妈一共有几个桃？
　　（2）猴妈妈有24个桃子，被小猴吃了4个，现在还有几个桃子？
　　（3）猴妈妈有24个桃子，平均分给4只小猴，每只小猴分到几个？
　　（4）猴妈妈原来有24个桃子，又买来4个桃子，现在有多少个桃子？
　　学生独立完成以上的加减乘除一步计算问题，重点分析为什么可以用除法计算。
　　在以上教学中，教师不仅仅满足于能正确解决这个问题，而是结合学生的解题思路，用几何直观去解决问题。实践证明，在小学数学规则教学中借助几何直观，不仅可以丰富学习材料的呈现方式，提高学生的学习兴趣，拓宽学生解决问题的视野，更重要的是通过“式”与“形”的一一对应，以及做实做厚规则教学过程，提升建模素养。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[Z].北京：北京师范大学出版社，2012
　　[2]卢江，杨刚，主编.义务教育教科书.数学（一至二年级）[M].北京：人民教育出版社，2014
　　[3]袁晓平.画出来的精彩—培养画图解题能力的教学思考[J].教学月刊小学版（数学），2011