——以“图形的轴对称”教学为例

　　摘 要：初中阶段很多的新授知识在小学都有一定的学习基础，教师要根据知识的发展和学生已有的认知经验来设计教学，做好初小衔接，让学生体会新旧知识的联系，促进新知学习，提升数学能力。文章通过教学实践案例研究，进而去理性探讨如何在教学中做好初小衔接，准确激发知识、思维、思想方法的“生长点”，培养学生的数学素养。
　　关键词：初小衔接；知识；思维；思想方法；生长点；数学素养
　　教学中不去了解学生过去的学习基础，而是把学生当做一无所知来教学，导致课堂啰嗦冗长，使学生丧失学习兴趣，无法创设高效课堂，不利于学生数学素养的发展。做好初小数学衔接有着重要的现实意义，能激发学生的学习兴趣和热情，促进学生可持续发展；能使学生在数学学习上保持统一性和连续性，促进思维能力的发展。本文以“图形的轴对称”教学为例，聚焦如何做好初小衔接，准确激发学习的“生长点”，以利于学生的发展。
　　一、课题分析
　　（一）教材分析
　　“图形的轴对称”是浙教版八年级上册第二章《特殊三角形》的第一课时，浙教版教材把这一内容安排在学习等腰三角形之前是因为等腰三角形的所有性质都是源于它的轴对称性，要用对称的眼观来看待等腰三角形，以后将要学习的特殊四边形、圆等都具有轴对称性，抓住这些图形的轴对称性本质就能解决问题。图形轴对称变换是初中平面几何的的三大图形变换之一，对发展学生的直觉思维、空间观念以及培养合情推理能力，有着非常重要的作用。
　　基于以上分析，确定本节课的教学重点是图形轴对称的概念和性质。
　　（二）学情分析
　　八年级的学生已经在初中阶段学过了平面几何基础知识，图形的平移变换，三角形的基础知识，全等三角形的概念、判定、性质与运用，已经具备了初步的逻辑推理能力。图形的轴对称在小学阶段，侧重于感性思维，会辨认轴对称图形，但没有形成轴对称图形的概念；会画简单图形的对称轴，但不会严格描述对称轴；会在方格纸上补全轴对称图形的另一半，但没有学习严格的轴对称作图；初步体会了轴对称的性质，但没有运用性质解决问题的能力，这些都是新的“生长点”，能促进学生从感性思维到理性思维跨越。
　　基于以上分析，确定本节课的教学难点为轴对称的性质的研究与运用。
　　（三）目标分析
　　1.了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念。
　　2.会判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出它的对称轴。
　　3.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
　　4.理解轴对称的性质：①对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段；②成轴对称的两个图形是全等图形。
　　5.运用轴对称的性质解决问题，体会转化的数学思想。
　　二、教学过程
　　（一）激趣引入，感知轴对称
　　多媒体出示问题，如图：




　　问题：这是曾经被选入美国名校哈佛大学入学考试的试题，同学们看看能答出来吗？
　　教师在原图上加了一些虚线，如图2：




（图2）

　　在图上添加了这些虚线以后，所有的学生都明白了：这些是有规律的轴对称图形。随即引入课题，并板书课题《2.1图形的轴对称》。
　　教学分析：
　　1.学习积极性的调动主要还是靠兴趣，以趣事、趣题为载体能有效地激发学生的学习积极性，初中生有好表现的特点，通过趣题，能激发学生的表现欲，使学生专注于课堂。
　　2.本课的大多数引入都是采用生活中的实例，这样的引入没有考虑到学生已有的认知，激发不了求知欲。而采用趣题，这个世界名校的试题以小学的基础完全能做出来，能让学生体验成功，增强学习的自信心，有助于后续学习。
　　3.这样引入的设计还有一个目的是为了让学生体会到轴对称图形的主角是“图形的一半”，灵魂是“对称轴”，对称轴的两侧是全等图形这一“本质”，感知轴对称的本质是一个知识的“生长点”。
　　（二）概念辨识，认识轴对称
　　1.理解概念
　　多媒体展示蝴蝶两部分折叠重合的动态图，如图3：
　　问题：这个图形是轴对称图形吗？为什么？






　　教学分析：
　　概念的形成，对数学学习有着重要的意义，因为概念是思维的细胞。学生在小学时对轴对称图形有了感性的认识，但还没有形成严格的轴对称图形的概念。到了初中，学生的心理和认知水平有了一定的提高，通过动态展示让学生自己发现这个图形的左右两个一半是一样的，进而结合本质促进学生理解轴对称图形的概念，这是一个知识的“生长点”。
　　2.辨析概念
　　学生已经了解了轴对称图形的概念，让学生完成下面一组练习（多媒体展示，如图4）                  














  
　　教学分析：
　　取材贴近学生生活，选取的图形都是学生生活中常见的图形，也没有选很复杂的图形，目的是通过这些图形的辨别达到理解和巩固概念。教学素材的选择不是为了难倒学生，而是让学生明白，只要能找到对称轴并发现两个“一半”是一样的这一本质，就可以解决问题。
　　3.灵魂是轴
　　以下是这一环节的教学实录。
　　师：通过前面的学习可以发现，轴对称的灵魂是“对称轴”，所以找出对称轴非常关键。 现在请同学们来找找对称轴，请看下面的问题（多媒体展示，如图5）。








　　教学分析：
　　小学时学生会判断对称轴，但不会严格描述对称轴，这是知识的“生长点”。利用这个生长点，突出对称轴是轴对称图形的灵魂，所以必须把对称轴理解清楚，这有助于中垂线性质的运用，八年级开始有了大量几何推理表述，了解对称轴有利于培养学生的逻辑推理能力。另一方面，线段和角是最基本的轴对称图形，其他的图形的轴对称都可以转化到这两个图形上，尤其是线段的轴对称，体现了点与点的轴对称关系，研究复杂图形的轴对称，就需要转化为两个点的轴对称。
　　（三）层层递进，研究轴对称
　　以线段为例（如图6），我们把沿直线对折后能够重合的两个点叫做“对称点”。从而导出性质：对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段（教师板书）。






　　几何语言：∵点A与点B关于直线l对称，
　　∴直线l⊥AB，直线l平分AB.
　　问题1：老师给你一个点A，根据性质，你能作出点A的对称点A’ 吗？
　　学生会发现这样没法做出，教师及时追问缺少了什么？学生会发现缺了对称轴，教师随即加上一条直线l，如图7，教师示范作图，学生跟着作图得图8，并板书：点A和点A’关于直线l对称。







　　跟进练习：在图8的基础上加一点B，请作出点B关于直线l的对称点B’。
　　问题2：连结AB和A’B’，你发现了什么？
　　得图9后，发现：线段AB和线段A’B’关于直线l对称（教师板书）。







　　跟进练习：在图9的基础上再加一个点C，请作出点C关于直线l的对称点C’，教师跟着学生一起作图。
　　问题3：连结BC，AC，B’C’，A’C’，你发现了什么？
　　得图10后，引导学生发现：△ABC和△A’B’C’这两个图形关于直线l对称（教师板书）。
　　给出图形的轴对称定义，进一步由两个图形互相重合很容易得出两个图形成轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形（教师板书）。
　　几何语言：∵△ABC和△A’B’C’关于直线l对称，
　　∴△ABC≌△A’B’C’。
　　教学分析：
　　这一环节，是这一节课的重点和难点，要得到轴对称的性质，应用性质进行轴对称作图，体现转化的数学思想。学生小学时对轴对称的认识是感性的，而在初中就要向理性思维过度，这对于原有轴对称的基础，有了很大的提高，不仅是轴对称知识的“生长点”，同时也是思维的“生长点”。
　　（四） 学以致用，运用轴对称
　　1.巩固基础
　　教师：下面请大家运用所学完成下面的练习。如图11：








　　问题：通过第4题你有什么收获？
　　教学分析：
　　让学生体会到类比“用一对对应点就能确定一个平移变换”一样，只要用一对对称点就能确定一个轴对称变换。
　　问题或者习题设置要适合学生，不为难学生。习题是掌握和巩固数学知识的有效载体，更重要的是通过解题后的反思，能有效激发思想方法的“生长点”。
　　2.拓展应用
　　在对轴对称本质理解的基础上，改编课本例题，通过小组合作来解决实际问题。
　　（1）问题1：如图12，直线MN表示一条河流的河岸，河流旁有A、B两个村庄，现要在河边修建一个供水站给A、B供水。问：这个供水站建在什么地方，可以使铺设管道最短？请在图中找出表示供水站的点P。







　　学生根据已有的经验“两点之间线段最短”很容易得到：连结AB交直线MN于点P，即P为所求作的点，如图13。
　　（2）问题2：如图14，直线MN表示一条河流的河岸，在河流旁有A、B两个村庄，现要在河边修建一个供水站给A、B供水。问：这个供水站建在什么地方，可以使铺设管道最短？请在图中找出表示供水站的点P。






　　学生有了问题1的基础，两个村庄（两个点）在直线的同侧时，利用轴对称可以将点A转化到另一侧的点A’，这样就回到了问题1，连结A’B，即可得到所求的点P，如图15。
　　教学分析：
　　课本的例题对学生来说很难理解为什么要这样作图，所以改编例题，变为两个问题，问题1唤醒了学生已有的知识“两点之间线段最短”，为问题2的解决作了铺垫。有了问题1解决的基础，结合本课所学，学生能通过轴对称的本质转化线段，从而解决问题，渗透了转化的数学思想。利用轴对称解决问题在小学是没有的，是轴对称的本质的运用，是数学思想方法的“生长点”。
　　（五） 整体反思，回顾轴对称
　　教师：现在让我们一起来回顾一下今天所学的知识。
　　教学分析：
　　巧妙的引入，能一石激起千层浪，激发学生主动学习。有效的小结，能画龙点睛，回味无穷，启迪思维。黑板上的板书都是本节课知识点，方法及思想，体现了本节课的知识主线和学习的“生长点”，教师带领学生看着黑板回顾整节课，起到巩固所学，形成系统，为后续学习奠定基础，有效地落实了教学目标。
　　三、教学思考
　　本节课学生带着自己原有的轴对称图形的知识、方法、经验去主动探索、体验、思考、反思，自主建构新的知识结构，在活动中自然生成数学方法和思想，使初中的数学与小学已有的认知无缝衔接，有效地激发了学习的“生长点”。基于此，对如何有效做好初小衔接教学有以下思考。
　　（一） 研究初小教材，做好衔接教学的准备
　　俗话说“知己知彼，百战不殆”。初中数学相比小学数学，内容多了，难度大了，但教师不能不顾小学的学习内容，把学生当做一张白纸来教学。教师作为学生学习的引导者，在教学中起着重要的作用。教师不仅要研究初中的教材，做到“知己”，也需要去了解小学的教材，做到“知彼”，熟悉整个义务教育阶段的教材编排，只有知道了学生在小学阶段学了什么，学到什么程度，和初中将要学习的内容相比哪些知识是不需要再重复的，哪些知识是要重点学习的，才能为衔接教学做好准备。做到了有的放矢，明确学习的“生长点”，提高课堂效率。
　　（二） 纵深学习内容，寻找衔接教学生长点
　　数学学习内容应该是贴近学生、能让学生理解与感受的。初中的学习内容与小学相比更具抽象性，而且学习内容不只是单向，需要从横向、纵向两个方面发展，这就对学生的学习提出了更高的要求。新课程的基本理念指出教学应该以学生已有的认知发展水平和已有的经验为基础。在教学中，需要了解学生已有的知识储备和认知水平，横向考虑学习内容与其他知识有没有联系，寻找学习内容的横向“生长点”，同时还需要纵向考虑学习内容的发展，以原有的知识内容为基础，寻找纵向“生长点”，做到推陈出新，不断深化，促进知识体系的建构。
　　（三） 完善思维方式，促进数学素养的发展
　　培养和发展学生的数学素养是数学教育的终极目标。初中数学在思维方式上与小学不尽相同，这给教学带来了困难，同时也是教学的契机。由于小学生的认知特点，在小学数学中强调的是感性思维，到了初中我们必须在感性思维的基础上发展学生的理性思维，同时渗透数学的思想方法，这就是思维方式的衔接。在学习中要给学生时间进行数学语言的转换训练、逻辑推理书写的训练，切实提高学生的逻辑思维能力，教学中还应注重对学生在解决问题时的数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等多种思维方式的应用体验，完善学生的思维方式，激发思维的“生长点”，促进学生分析问题、解决问题的数学素养快速发展。
　　教学中注重初小衔接，能使知识、能力自然衔接，能使学生的数学学习具有延续性和统一性，能使学生在原有的基础上不断完善和发展自我，形成良好的数学素养。
　　参考文献：
　　[1]教育部. 义务教育课程标准[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012：1.
　　[2]金才华等.义务教育教科书数学教学参考书.八年级.上册[M].杭州：浙江教育出版社，2013：7.
　　[3]卢江等.义务教育教科书教师教学用书.数学.四年级.下册[M].北京：人民教育出版社，2016：10.
　　[4]余文森. 核心素养导向的课堂教学[M]. 上海：上海教育出版社， 2017：116.
　　[5]熊夕. 初中数学教学中如何做好初小衔接[J]. 赢未来， 2017（34）：145-145.
　　[6]王锋. 走进五彩缤纷的轴对称世界[J]. 中学生数理化（八年级数学）， 2015（9）.