【正文】

【内容摘要】

本文主要对几个教学过程中遇到的平面向量难题解法的探究，引导学生在解决向量问题的过程中，改变常规思维方式，让纷繁复杂的所谓难题解法更自然天成，在不断思考的过程中追寻一些至精至简的向量解题方法，启发学生用不同的方法、从不同的角度更深层次的去思考问题。使学生不受思维定势的影响，突破习惯的向量解题方案公式法、坐标法，实现高效学习（复习），应对各种考验，并且在解决问题的过程中，促进学生数学核心素养的提高与深化。

【关键词】  高中数学 平面向量 解法 核心素养 至精至简

数学学科核心素养是最新版数学课程标准教学目标的体现，是具有数学基本特征的思维品质、重要能力以及情感、态度与价值观的综合表现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。

核心素养能让学生获得高中阶段学习所必须的的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，即“四基”和“四能”。

向量具备物理背景，经过抽象形成数学知识以后，成为重要的、基本的数学概念之一。出身于矢量，既有大小又有方向，所以具备了“数”与“形”的结合特征，成为沟通代数、几何和三角的有效载体。可以用向量来解决很多数学问题，也可以在代数或几何观点下探究向量问题，通过合理的转化，在短时间内得到向量问题的内涵，高效的研究问题。

本文通过个人多年来的教学实践体会，通过一些向量问题解法探究，发现至精至简的方案，使学生在最小的付出中得到最大的收获。我们所指的“至精至简”是数学题本身都是精简质朴的，怎样做能够自然而然的得到想要的结果，是解题研究者一直追寻的方向。最有效的方法，最直观的呈现，才是最高效的教学，最高效的复习。很多难题看起来是非常复杂，而本质的内容却是简约的，明确的，追寻和探究一些至精至简的解题方法可以让学生更快乐的学习。

一、以图探法，至精至简，在图形抽象中渗透本质解法

构造法就是一种数学解题的创新。构造几何图形，是构造法解题中一种主要的手段。主要体现在两个方面：一是需解决的问题并不是一个关于几何的问题，然而经过联想分析，构造出一个图形来达到解决问题的目的；二是需要解决的原本就是一个与几何相关的问题，但必须资源重组，构造出一个新的图形，进而解决问题。近年来，构造几何图形解题，在高考中已成为一大炙手可热的大热点。

【案例1】已知平面向量满足，若为平面单位向量，则的最大值是    。

【基本解法】坐标法

设

则

所以。

易知当时，取最大值，此时，同为正，一次上述不等式等号同时成立。

【至精至简】构造图形

解答：构造图形的最大值如下图,有向量数量积的几何意义，向量OB和向量BC在向量OE上投影和为OC＇，所以有，由余弦定理可知。

解法反思：一般来说，一道选择题不用如此大动干戈，因为，而的最大值如下图,，由余弦定理可知，故的最大值不可能是，而又可以通过特殊位置直接得到，可以秒杀。但是作为一个2016年浙江高考题改变的试题，总是要把它的本质搞清楚，通过几何图形将动态的本质呈现，可谓是至精至简，对于探索更多的变化，起到了思维引领的作用。

二、以理明法，至精至简，在迁移转化中体会本质解法

等价转换是把没有找到解法的情况转换到在已有知识范围内能够解决的问题的重要数学思想方法。通过各种不同方式的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化到熟悉、规范甚至模型法、更简单的问题。近几年的高考，等价转化思想随处可见，老师要努力完善和培训学生自觉的转化意识，将更有利于完善解决向量问题中的处变不惊的能力，提高思维能力和技能、技巧。

向量转换原理：若，则证明如下：，，又因为，所以，所以。

【案例2】已知平面向量满足：，则的最小值为（    ）

A.     B.2        C.        D.

【基本解法】坐标法

设，可得，得

解题反思：这里需要对的的系数配成1，很多学生无法发现，导致此题不能快速作答，又没有更好的解答方案，所以感觉难度很大。

【至精至简】向量转换

解答：

解法反思：平时的教学只要着眼于以课本内容为出发点，探究发现为着力点，学生创新思维和数学素养的培养为生长点，就可以去把握高考关键的落脚点。不拘泥于数学本身的形式，而是仔仔细细分析题目的结构特征，从不可思议的角度去思考问题，从而达到解决问题的目的与时效性，这样的数学思维方式既培养了良好的数学解题习惯，又开拓了所教学生视野与见识，让学生的智慧得到锻炼与进步。这样的数学问题在近年来的高考或模拟卷中经常出现。

三、以式扩法，至精至简，在深度探究中推进本质解法

极化恒等式作为桥梁，可以联系向量方法与几何问题之间的关系，具有化动为定，化动为静，化曲为直，化一般为特殊的效果，应用十分灵活。因此在近几年全国各地高考试题中，与极化恒等式相关联的问题成为创新的热点，精妙的向量问题层出不穷。

原理：设是两个平面向量，则有。放在ABC中，AM是BC边的中线，则。

【案例3】在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．

【基本解法】此题最适合的方法是特例法．

假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．

cos∠BAC＝．＝

【至精至简】极化恒等式

解答：根据极化恒等式得

解题反思：面对比较难的高中向量问题，使用常规方法即使可以解答，但所花费的试卷和经历非常之大。为了呈现高效课堂，为了以最小的投入使学生获得最大的收益。在一些特定的背景下，出奇不易而胜非常很重要，如果经过仔细分析，使用转化与划归的数学思想，让思维飞在空中，从而使解决问题的过程成为一种享受，从容面对向量题目的考验。经过化动为静，思考方式难了一些，但是学生学会了以后，有可能使问题解决的更具有创造性思维。充分发挥数学知识体系的横向联系，起到意想不到的效果，这样的解法才可成为至精至简。

大道无边，至精至简。平面向量问题变幻无穷，要想既快捷方便又准确精准的解决问题，只用一种固定的解法是行不通的，必须行使思会变通的本性——必须能够根据题设的相关要点，提出更具想象力的设想和解题方案。任何一道数学向量问题题，都包含一定的已知条件和逻辑关系。要想解决之，就必须根据题目的本质特征，对问题本身进行深层的、细微的、彻底的观察，然后缜密总结与思考，深挖表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。思考问题的角度不同就可以得到多种不同的思路，广泛寻找多种解题方法，有利于拓宽解题思路，完善学生的思维能力，增强学生分析问题的水平。

上述各个问题的解答策略，不都是个人发现的，都是在不断阅读名家大师的文章感悟到的，从更高层次来看，方法的“好”与“差”也只是相对的，教师应该因地制宜，因材施教。一个好的解法至少应当燃起学生数学思维的火花，激发他们的求知欲，并有真正意义上的为他们提供桥梁和阶梯去解决问题，引导学生逐步掌握最高端的知识和能力。数学题的解法探究教学对任何题目都可以从多个角度去思考,使用不同的数学思想方法加以思考和探究,能够得出更多优秀的解法,从而实现一题多解，或多题一解。一道好的数学问题,不在于华丽的“包装”,更加于本身所蕴涵的思想方法。

【参考文献】

[1] 于德强. 让学生的思维飞起来—基于新课改背景下高中数学解题思维培养浅析[J].

中学数学研究.2019.06