【正文】摘 要：本文对高中物理阶段中利用数学归纳法解题的几个实例进行了探讨，希望可以提高教师同仁在课堂上培养学生数学方法和物理思维相结合的意识。
　　关键词：数学归纳法；板块模型；动量守恒定律；重复多段运动过程
　　在高中物理的解题中，利用数学方法帮助我们处理物理公式的结果，比如求极值，找临界，联立方程组求解两个未知量等等，一直是非常常用的方法，我们老师在课堂上也会比较多涉及到这些方面。而在这些数学工具的应用中，数学归纳法，作为一种比较“小众”的处理方法容易被广大一线教师所忽略。而且在近几年的模拟题中，越来越凸显了这方面的应用。
　　一、 用数学归纳法处理板块运动中的多过程问题
　　【例】如图所示，质量为M=4.5kg的长木板置于光滑水平地面上，质量为m=1.5kg的小物块放在长木板的右端，在木板右侧的地面上固定着一个有孔的弹性挡板，孔的尺寸刚好可以让木板无接触地穿过。现使木板和物块以v0=4m/s的速度一起向右匀速运动，物块与挡板碰撞后立即以碰前的速率反向弹回，而木板穿过挡板上的孔继续向右运动，整个过程中物块不会从长木板上滑落。已知物块与挡板第一次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为x1=1.6m，重力加速度g=10m/s2。





　　⑴求物块与木板间的动摩擦因数；
　　⑵若物块与挡板第n次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为xn=6.25×10-3m，求n..   
　　解析：对这个题的第一问中动摩擦因数的求解，可知物块与挡板第一次碰撞后，物块向左减速到速度为0的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得  ：－μmgx1=0－■mv02  
　　解得   μ=0.5    
　　小物块与挡板碰后再次动量守恒达到共速，每次都是重复这个过程，对于这种多次重复类型的求解，我们应该考虑数学归纳法。
　　物块与挡板碰后，物块与木板组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向。
　　设第一次碰撞后系统的共同速度为v1，由动量守恒定律得 Mv0－mv0=（M＋m）v1 
　　解得  v1=■v0 =  ■v0 
　　设物块由速度为0加速到v1的过程中运动的位移为x1′
　　μmgx1′=■mv12    
　　则结合上式x1′=■x1     
　　即物块与挡板第二次碰撞之前，物块与木板已经达到共同速度v1
　　第二次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为v1
　　经一段时间系统的共同速度为  v2=■v1 =(■)2v0    
　　第三次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为v2
　　经一段时间系统的共同速度为  v3=■v2=(■)3v0    
　　第n次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为vn-1=■vn-2=(■)n-1v0    
　　由动能定理得－μmgxn=0－■mvn-12
　　解得 n=5   
　　在这个题目中对于第n次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小用到了数学归纳法。本质就是利用规律多次求解类似过程，从而总结类似结论。
　　二、用数学归纳法处理电磁感应中的多段过程问题
　　在2020年5月份山东省举行的第二次全省大模考中，出现了这样一个利用数学归纳法解决问题的题，笔者认为比较有参照意义。
　　【例】如图所示，一阻值为R、边长为l的匀质正方形导体线框abcd位于竖直平面内，下方存在一系列高度均为l的匀强磁场区，磁场方向均与线框平面垂直，各磁场区的上下边界及线框cd边均水平。第1磁场区的磁感应强度大小为B1，线框的cd边到第1磁场区上边界的距离为h0。线框从静止开始下落，在通过每个磁场区时均做匀速运动，且通过每个磁场区的速度均为通过其上一个磁场区速度的2倍。重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
　　（1）线框的质量m；

















　　（2）第n和第n+1个磁场区磁感应强度的大小Bn与Bn+1所满足的关系；
　　（3）从线框开始下落至cd边到达第n个磁场区上边界的过程中，cd边下落的高度H及线框产生的总热量Q。
　　解析：对于题目中的第一问我们可以根据平衡方程求得：设线框刚进第一个磁场区的速度大小为v1，由运动学公式得v12   =2gh0
　　设线框所受安培力大小为F1，线框产生的电动势为E1，电流为I，由平衡条件得 F1=mg
      由安培力的表达式得F1=B1Il   且E1=B1lv1  ，  I=■
　　联立得m=■■
　　第二问中的速度关系也可以利用平衡方程求得，从而推知磁感应强度的关系
　　设线框在第n和第n+1个磁场区速度大小分别为vn、vn+1，由平衡条件得
　　mg=■和mg=■且   vn+1=2vn
　　求得 Bn=■Bn+1
　　对第三问中热量的求解，需要用到数学归纳法。设cd边加速下落的总距离为h，匀速下落的总距离为L，由运动学公式得h= ■且vn =2(n-1) v1，L=2(n-1)l
　　联立得H=h+L=22(n-1)h0+2(n-1)l 
　　由能量守恒定律得Q=2mg(n-1)l
　　联立得 Q=■
　　在这个题目中需要用数学归纳法得出第n个磁场区速度的大小vn与第一次的速度大小v1的关系。
　　综上所述，在高中物理中利用数学归纳法来处理一些问题并不难，大多数同学们在处理的时候容易有畏难思想，其实是因为对重复的多过程进行处理时找不到相同的数量规律，然后利用数学归纳法进行处理，希望这篇文章能够给广大教师同仁以启发。