【正文】  摘 要：函数图象中“点的存在性问题”是一道代数几何综合题，成为近年中考压轴题的热点题型。本文将通过两道典型例题所考察的数学思想和数学方法的解读，分析此类题型的难点与突破口，探求此类题型的一般性的解题策略，以利于教学上对学生因势利导，使学生能做一题会一类，举一反三，触类旁通，提高学生的核心素养。
　　关键词：存在性问题；；思想方法；解题策略
　　函数图象中“点的存在性问题”是一道代数几何综合题，成为近年中考压轴题的热点题型，2019年40多个省市地区都在考。综合题是对数学六大核心素养：逻辑推理、数学建模、数学运算，直观想象、数据分析、数学抽象的综合考查。 尽管综合题难做难教，但它的考查形式与突破口也是有章可循的。为此，本文将通过两道典型例题所考察的数学思想和数学方法的解读，分析此类题型的难点与突破口，探求此类题型的一般性的解题策略，以利于教学上高屋建瓴、深入浅出地对学生进行因势利导，在提高学生的分析问题，解决复杂问题的能力的同时，使学生能做一题会一类，举一反三，触类旁通。此类问题是提高学生的核心素养的很好的素材。
　　一、经典问题再现
　　（一）直角三角形存在性问题
　　如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P使△PBC为直角三角形？若存在，求出点P坐标，若不存在说明理由。









　　分析：由条件易求得A、B、C三点坐标及抛物线对称轴，点P是一个动点，点B、点C是定点。当△PBC是直角三角形时，P、B、C三点均有可能是直角顶点，此处需用到分类讨论的思想。把问题分为三类：当∠PBC=90°时，过点B作BP垂直BC于点B，交对称轴于点P；当∠PCB=90°时，过点C作PC垂直BC于点C，交对称轴于P；当∠BPC=90°时，以BC为直径画圆，交对称轴于点P。两线一圆构图确定点的位置。
　　解法1：利用勾股定理布列方程。











　　解：如图，过点P，C，B分别作与x轴，y轴垂直的直线。
　　易求得点C （O， -3）、B（3.0），抛物线对称轴为直线x=1
　　设点P （1， m）
　　由勾股定理得PC2=PE2+EC2=12+（m+3）2=m2+6m+10，
　　PB2=PF2+FB2=（3-1）2+m2=4+m2，BC2=BG2+CG2=32+32=18
　　①当∠PBC=90°时，PB2+BC2=PC2，4+m2+18=m2+6m+10，m=2，∴P（1，2）
　　②当∠PCB=90°时，PC2+BC2=PB2，m2+6m+10+18=4+m2，m=-4，∴P（1，-4）
　　③当∠BPC=90°时，PC2+PB2=BC2，m2+6m+10+4+m2=18，
  ∴m1=■ ，m2=■









　　P点坐标为（1，■）或（1，■），综上所得，P点坐标为(1,2)或(1,-4)或（1，■）或（1，■）。
　　解法2：利用相似三角形对应边成比例列方程。
　　（1）当∠PBC=90°时，如图1：易证△PFB∽△BGC，可得：■=■ ，∴■=■  ∴m=2
　　∴点P （1，2）                  
　　（2）当∠PCB=90°时，如图2，易证△P2MC∽△COB，可得：  ■=■
  ∴ ■=■， ∴m=-4   ∴点P2或 (1,-4)










　　（3）当∠BPC=900时，如图3，易证 △P3FB∽△CEP3，可得：    ■=■
 ■=■
  ∴m1=■,m2=■，∴点P(1,■)或P(1,■)
　　同理可证△P4GB△CMP4，  ■=■,■=■，
  ∴m1=■,m2=■　综上所得，P点坐标为(1，2)或（1，-4）或(1,■)或1,■)。










　　（二）面积的存在性问题     
　　如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是BC下方抛物线上一动点，连接CD、BD，求△BCD面积的最大值及点D坐标。








　　分析：对于三角形面积问题，主要分两大类：
　　1.至少有一条边与坐标轴平行或在坐标轴上，该类型三角形直接用面积公式，表示方法比较简单，我们称这类规则三角形为“特殊图形”。

















　　2.三边与坐标轴都不平行，我们称这类不规则三角形为“一般图形”。“一般图形”的面积通常转化“特殊图形”的面积的和或差进行求解。
　　解法1：分割法.
　　解：如图1，过点D作DE⊥x轴于N，交BC于E，易求得点C（0，-3）、B（3，0）物线对称轴为直线x=1 ，求得直线BC的解析式为y=x-3









　　设点D（m，m2-2m-3），∴E（m，m-3），∴DE=m-3-（m2-2m-3）＝-m2+3m
　　∴S△DBC＝S△DCE+S△DBE＝■DE·ON+■DE·NB=■DE·OB=（-m2+3m）×3
　　＝-■（m2-3m）＝-■（m-■）2+■，∴当m＝■时，S最大＝■，此时，D(■,-■)








　　归纳总结：①把“一般三角形”分割成“特殊三角形”。 ②三角形面积表示为铅垂高乘以水平宽。 ③建立函数模型，利用二次函数最值性质确定特殊点的坐标。
　　解法2：组合法（1）








　　连结DO，如图2 设点D(m,m2-2m-3)则S△DBC＝S△DCO+S△DBO-S△OBC.＝■m-■(m2-2m-3)-■×3×3=-■(m-■)2+■
　　∴当m＝■时，S最大＝■，此时，D(■,-■)








　　解法3： 组合法（2）                        
　　思路：如图3，△BCD的面积转化为梯形OBDM与△BCO，△MCD的面积的差或矩形OMKB与△BCO，△MCD，△BKD面积的差进行求解。
　　解法4：切线法
　　分析：由于CB边长度确定，过点D作DE∥CB，当抛物线与直线只有一个公共点，即抛物线与直线DE相切时，边BC上高最大，则△BCD面积最大。
　　解：如图3， 过点D作DE∥BC交y轴于点F， 求得直线BC解析式为y＝x-3，
　　设直线DE解析式为y＝x+b，，联立方程组y=x+by=x2-2x-3   
  ∴x+b=x2-2x-3
  ∴x2-3x-3-b=0  ∴△=9+4(b+3)=0    ∴b=-■
　　解方程x2-3x+■=0，x=■，∴D(■,-■)，过点C作CG⊥DF，∵∠OCB=∠CFD=45°
　　∴CG＝CFsin450=■×■×■，.∵CB＝3■，S最大＝■CB×CG＝■×3■×■=■









　　二、解题策略探求
　　从上面两个问题的共同点和重要特征的研究中，此类条件开放性探究问题采用执果索因的思路来求解[2]。解题步骤是：1．假设结论成立，分类画出图形。2．求出定点坐标，设动点的坐标，用数或代数式表示相关线段长。3．把几何关系（形状，大小，位置）转化为代数关系（方程或函数）。4．解方程或利用函数性质求出点坐标值。5．检验所求的点是否符合题意，若点符合题意，则假设成立，舍去不符合题意的点。1，2，3步是本题型的难点和关键，笔者发现突破这些难点运用了以下策略：
　　（一）化动为静
　　随着点的运动，生成图形的形状，位置，大小也在变化。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”[3]。抓住运动中构成特殊图形或特殊位置关系的图形的某一瞬间，利用动点（图形）的特殊位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，从而将复杂的动态问题的转化为一般的数学问题。
　　由于动态问题的不确定性，所以需要运用分类讨论思想提升解题的全面性。全面分析动点的运动轨迹，看清是由于怎样的不确定，而导致了结果的不确定，就依照怎样的方向来分类解决问题，这样就做到不重不漏。如问题1，△PBC是直角三角形时，P、B、C三点均有可能是直角顶点。把问题分为三类：∠PCB=90°，∠PBC=90°，∠BPC=90°，再根据这三种情况分别画出图形。
　　（二）化一般为特殊
　　在教学实际中对于一般情况而言，特殊情况往往比一般情况熟悉且易于认识，因而常把特殊化作为实现化归的途径之一，当我们遇到带一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择[4]。
　　1、化一般线段为特殊线段。函数图象中“点的存在性”问题与其他动点问题不同之处是以平面直角坐标系与函数为背景。利用平面直角坐标系的工具性，当线段所在直线与坐标轴平行时，线段长可以由两端点的较大横坐标减去较小横坐标或较大纵坐标减去较小纵坐标来表示。笔者把此类横平竖直线段归为“特殊线段”。当线段所在直线与坐标轴不平行时，笔者把此类斜线段归为“一般线段”。由于初中没有学习两点间的距离公式，斜线段长度的表示，则通过构造直角三角形，化斜为直，再利用勾股定理将其转化为横平竖直的线段的长度来表示。用坐标可以表示线段，使线段得以数量化，反之，用线段数量关系可以求点坐标。数形结合思想的运用，实现了几何关系与代数关系的互相转化。如问题1的解法1中，把PB，PC，BC表示出来后，就可以把三边具有的几何关系（勾股定理）转化为关于坐标参数的代数关系（方程），问题得以解决。解法２则充分挖掘潜在条件，把问题转化为几条横平竖直的线段的成比例关系，问题得解。同时，由于横平竖直的线段的表示较为简洁，笔者认为把斜线段的几何关系转化为横平竖直的线段的几何关系，更易于计算。如问题１中，当Ｐ为抛物线上的动点时，解法1用勾股定理列出的方程为四次方程，不利于解答，学生会出现“一顿操作猛如虎，回头一看原地栋”的局面，此时适宜用方法2解决。
　　2 、化一般图形为特殊图形。求一般图形面积通常用割补法，组合法等把其转化为特殊图形的和或差来求解。如问题2中解法1，2，3。显然“特殊三角形”的底边和高都是“特殊线段”，易于表示和计算。
　　（三）化几何关系为代数关系
　　数学家笛卡尔曾说：“ 一切问题都可以化归为数学问题，一切数学问题都可以化归为代数问题，一切代数问题都可以化归为方程问题[5]。本题型所求特殊点的坐标既具备它所在函数的关系或所在直线的特征，也具备其所表示线段的数量关系，把所解决图形的性质或判定（或所求图形面积）等几何关系转化为与所求点相关线段的数量关系，利用这两个关系列出方程，求点坐标的两个未知量便水到渠成。如问题１的解法1就把直角三角形的垂直关系，转化为直角三角形的三边关系，列方程求解；问题1的解法2是把直角三角形的垂直关系转化为相似三角形对应边成比例关系，列方程求解。问题2解法1，2，3，是用面积关系转化为函数关系，利用函数最值性质求解。问题2解法4是利用直线与抛物线相切关系转化为求函数关系式及解方程组求函数图象的交点，再进一步解决问题。
　　代数几何综合的关键和难点之一是把几何关系转化为线段的数量关系，再把线段的数量关系转化为代数关系。化几何关系为代数关系的“研究套路”是：利用图形的特征建立数学模型，再利用此模型建立数量关系求解[6]。明确线段的数量关系的模型则为如何转化指明了方向，迅速寻找或作辅助线构造所需的数学模型（基本图形）。易于转化线段的数量关系（和、差、倍、分及相等）的数学模型有：全等三角形的对应边相等；相似三角形（平行线分线段）对应线段成比例；直角三角形的三边满足勾股定理；直角三角形的边角关系（三角函数）；面积与面积公式中相关的量。所以几何法求线段的四大法宝：1.利用勾股定理列方程。2.利用相似三角形（平行线分线段）对应线段成比例关系列方程。3.利用面积关系列方程。4.利用直角三角形三角函数关系列方程。
　　过定点和动点作垂直于坐标轴的直线，得到一些易于表示的“特殊线段”，这些线段是潜在的条件，可以帮助我们构造基本图形，把复杂几何关系转化为简单几何关系，通常是构造直角三角形，全等直角三角形或相似直角三角形，一线三直角模型比较常用，如问题1的解法1，2，问题2的解法1，2，3就利用了这些潜在条件。当条件所给线段或点孤立无援时，过定点或动点分别作x轴和y轴的垂线，可使问题背景丰富起来，多种基本图形即可信手拈来。
　　总而言之，函数图象中“点的存在性问题”综合运用了初中的几何知识和代数知识的多个知识点，渗透了分类讨论思想，数形结合思想，特殊与一般思想，转化思想，建模思想，方程和函数思想，综合性较强，是中学数学的精华部分。笔者认为解题策略和思想方法的统摄为解决问题指明了方向和突破口，只要基础知识、基本技能扎实，便可以根据题目的已知条件和潜在条件拾级而上，把所学的知识融会贯通，把复杂的关系层层剥离，从而使问题化繁为简，化难为易。全面提升学生核心素养，中考压轴题不再是难题！ 
　　参考文献：
　　[1] 刘羽“点的存在性”专题1[EB]  洋葱卓越教师公众号  2019-10-17
　　[2] 秦振 初中数学开放探究题的类型及解题策略[J] 中国数学教育·初中版 2019 年第3 期   第60-64页
　　[3] 王中文 初中数学动点问题的解题策略[J] 读与写杂志 第9卷第3期  2012 年 3月 第127页
　　[4] 李金云 郑芸 初中数学“特殊化”与“一般化”解题策略[J]  中学课程辅导.教学研究  2011年第9期 第153-154页。
　　[5] 程元利 刘秀娟 初中数学学习方法与建议（一）[N]  泰安日报社《特别的爱给特别的你——“给学生一把打开学习之门的金钥匙”》栏目 2020年2月7日
　　[6] 王中文 初中数学动点问题的解题策略[J] 读与写杂志 第9卷第3期  2012 年 3月 第127页