刊名： 教学与研究
Teaching and Research
主办： 中国人民大学
周期： 月刊
出版地：北京市
语种： 中文;
开本： 大16开
ISSN： 0257-2826
CN： 11-1454/G4
邮发代号： 2-256
历史沿革：
现用刊名：教学与研究
创刊时间：1953
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在数学教学中要重视数形结合思想的运用
【作者】 姚 琴
【机构】 湖北省十堰市茅箭区中小学数学教研室
【正文】摘 要：利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握数形结合的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效
关键词：数形结合；思维；培养
数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。随着课程改革的深入，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，就是提供给学生一种思考问题的方式，继而培养他们的思维能力，从而形成良好的数学思维习惯，让数学变的有趣起来。数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，它是一种最基本、最重要的思想方法之一。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
一、数形结合思想在数学解题中的作用
1．有助于学生形成完整的数学概念。
数学概念被认为是数学这门学科的逻辑起点，是学生对数学进行认知的基础，是学生进行数学思维的核心，对数形结合思想方法的运用，就是为了从“数”和“形”两方面对数学概念进行表述，从本质上揭示数学知识，沟通知识间的内在联系，从而使学生不再只是停留在对数学概念的表面文字的理解和记忆上，而是从本质上真正地理解数学概念。
2．有助于提高学生的解题能力。
学习知识就是为了应用知识，因此学习数学知识无疑也是为了应用所学的数学知识解决问题．对数形结合思想的掌握，不仅可以帮助学生寻找解决问题的途径，提高学生的解题能力，而且可以通过积累数学知识模块，进而缩短思维链的方式，提高学生的解题能力．
3．有助于培养学生的数学思维能力。
数形结合是一种思维策略，我们可将其当作寻求解题思路的方法，或者是在思路受阻时将其作为寻求出路的突破口，所以这可以看作是数形结合作为一种思维策略的另一方面的重要意义．
二、数形结合思想在初中数学解题中的运用
在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。
数形结合的结合思想主要体现在以下几种：
（1）用几何图形解决有关问题；
例1：如图，用一个面积为a的正方形和四个相同的长方形拼成一个面积为8a的大正方形，求长方形的周长。
此题目的是要求长方形的周长，其周长公式为2（长+宽），
即知道长、宽的和就可以求出其周长。所以有的学生就花了许多时间去表达出长方形的长为■-(■)，宽为■，这还是运算能力强的学生，弱一些的不知所措。可有的学生仔细看图之后，发现长+宽其实就是大正方形的边长，问题随之而解决，所以光在数上下功夫，而不注意形，就会事倍功半的。
（2）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例2：如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有多高？
此题需要借助示意图理解题意，即AB+AC=BD+CD，其中AB=10，AC=20，设树的高度为x米，则BD=x-10，CD=30-（x-10）=40-x，从而由勾股定理可列方程(40-x)2-x2=202。从此题的解题过程可以看出，许多数量关系要从示意图中看出，然后建立方程模型。这就是用几何图形解决方程问题。
（3）解决一些与函数有关的代数问题；
例3. A城有肥料200吨，B城有肥料300吨。现需要把这些肥料全部运往C，D两乡。从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨。现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运可使总费用最少？
分析：此题的信息量比较大，有的学生单纯的读题， 题还没读完就没有信心了。如果采用了如图所示的“菱形图”，学生将很容易理解题意了。可以设A城向C乡运x吨，那么A城只能向D乡运（200-x）吨；则C乡需要再从B城运来（240-x）吨，那么B城只能向D乡运 〔300-（240-x）〕吨，设运输总费用为W，则根据运费标准，按箭头方向可列出一次函数式
W=20x+25（200-x）+15（240-x）+24〔300-（240-x）〕，
x≥0；200-x≥0； 240-x≥0； 300-（240-x）≥0。显然借助图形我们有效的将文字信息进了整理，学生头脑清晰，可以比较轻松的列出一次函数关系式，比写出自变量的取值范围。
数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常的清晰，步骤非常的简单明了。另一方面在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。
总之，数形结合思想方法作为中学数学中重要的一种数学思想方法，笔者只是对其在解题方面的作用及实际运用情况进行了研究，还需要其他研究者从各个不同方面对其进行不断的更加深入的研究，从而不断丰富有关它的各方面研究成果．丰富的数形结合思想方法研究成果，不仅有助于教师自身的发展，而且有助于教师对数学其他方面的研究．
关键词：数形结合；思维；培养
数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。随着课程改革的深入，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，就是提供给学生一种思考问题的方式，继而培养他们的思维能力，从而形成良好的数学思维习惯，让数学变的有趣起来。数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，它是一种最基本、最重要的思想方法之一。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
一、数形结合思想在数学解题中的作用
1．有助于学生形成完整的数学概念。
数学概念被认为是数学这门学科的逻辑起点，是学生对数学进行认知的基础，是学生进行数学思维的核心，对数形结合思想方法的运用，就是为了从“数”和“形”两方面对数学概念进行表述，从本质上揭示数学知识，沟通知识间的内在联系，从而使学生不再只是停留在对数学概念的表面文字的理解和记忆上，而是从本质上真正地理解数学概念。
2．有助于提高学生的解题能力。
学习知识就是为了应用知识，因此学习数学知识无疑也是为了应用所学的数学知识解决问题．对数形结合思想的掌握，不仅可以帮助学生寻找解决问题的途径，提高学生的解题能力，而且可以通过积累数学知识模块，进而缩短思维链的方式，提高学生的解题能力．
3．有助于培养学生的数学思维能力。
数形结合是一种思维策略，我们可将其当作寻求解题思路的方法，或者是在思路受阻时将其作为寻求出路的突破口，所以这可以看作是数形结合作为一种思维策略的另一方面的重要意义．
二、数形结合思想在初中数学解题中的运用
在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。
数形结合的结合思想主要体现在以下几种：
（1）用几何图形解决有关问题；
例1：如图，用一个面积为a的正方形和四个相同的长方形拼成一个面积为8a的大正方形，求长方形的周长。
此题目的是要求长方形的周长，其周长公式为2（长+宽），
即知道长、宽的和就可以求出其周长。所以有的学生就花了许多时间去表达出长方形的长为■-(■)，宽为■，这还是运算能力强的学生，弱一些的不知所措。可有的学生仔细看图之后，发现长+宽其实就是大正方形的边长，问题随之而解决，所以光在数上下功夫，而不注意形，就会事倍功半的。
（2）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例2：如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有多高？
此题需要借助示意图理解题意，即AB+AC=BD+CD，其中AB=10，AC=20，设树的高度为x米，则BD=x-10，CD=30-（x-10）=40-x，从而由勾股定理可列方程(40-x)2-x2=202。从此题的解题过程可以看出，许多数量关系要从示意图中看出，然后建立方程模型。这就是用几何图形解决方程问题。
（3）解决一些与函数有关的代数问题；
例3. A城有肥料200吨，B城有肥料300吨。现需要把这些肥料全部运往C，D两乡。从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨。现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运可使总费用最少？
分析：此题的信息量比较大，有的学生单纯的读题， 题还没读完就没有信心了。如果采用了如图所示的“菱形图”，学生将很容易理解题意了。可以设A城向C乡运x吨，那么A城只能向D乡运（200-x）吨；则C乡需要再从B城运来（240-x）吨，那么B城只能向D乡运 〔300-（240-x）〕吨，设运输总费用为W，则根据运费标准，按箭头方向可列出一次函数式
W=20x+25（200-x）+15（240-x）+24〔300-（240-x）〕，
x≥0；200-x≥0； 240-x≥0； 300-（240-x）≥0。显然借助图形我们有效的将文字信息进了整理，学生头脑清晰，可以比较轻松的列出一次函数关系式，比写出自变量的取值范围。
数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常的清晰，步骤非常的简单明了。另一方面在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。
总之，数形结合思想方法作为中学数学中重要的一种数学思想方法，笔者只是对其在解题方面的作用及实际运用情况进行了研究，还需要其他研究者从各个不同方面对其进行不断的更加深入的研究，从而不断丰富有关它的各方面研究成果．丰富的数形结合思想方法研究成果，不仅有助于教师自身的发展，而且有助于教师对数学其他方面的研究．
