刊名： 教学与研究
Teaching and Research
主办： 中国人民大学
周期： 月刊
出版地：北京市
语种： 中文;
开本： 大16开
ISSN： 0257-2826
CN： 11-1454/G4
邮发代号： 2-256
历史沿革：
现用刊名：教学与研究
创刊时间：1953
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空间中角的计算
【作者】 郑 超
【机构】 （四川省平昌县思源实验学校）
【正文】摘 要：对有关空间中的角作简单归纳，分别讨论空间中直线与直线所成角、直线与平面所成角以及平面与平面所成角的计算方法。
关键词：空间中；直线；平面；角；方法
空间中角的计算问题主要包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面与平面所成角。计算这些角的问题主要是要先找到这些角。
一、直线与直线所成角（异面直线所成角）
直线与直线所成角是空间中角的计算问题中最简单的一种，只需要通过平移将求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线的夹角问题即可。要注意的是求两条异面直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条异面直线所成的角或补角，它的范围是[0,■]。
二、直线与平面所成角
直线与平面所成角是空间中角的计算问题中最常见的一种，最主要的一点就是首先要找到该直线在这个平面内的射影，直线与平面所成角就是该直线与它在这个平面内的射影所夹的角，它的范围是[0,■]。
三、平面与平面所成角（二面角的平面角）
平面与平面所成角是空间中角的计算问题中的重点，考纲中把二面角列为重点的考查对象，也是学生最头痛的一类问题，首先就是要找到二面角的平面角，其主要方法有以下四类：
①按照定义寻找二面角的平面角：从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。如图：O是二面角α-l-β的棱L上的一点，在平面α内作OA⊥L于点O，在平面β内作OB⊥L于点O，则二面角α-l-β的平面角就是∠AOB。
②利用三垂线定理寻找二面角的平面角：这是寻找二面角的平面角最常用的方法。首先要在其中一个平面内找到一个特殊点，过这个特殊点做另外一个平面的垂线；然后过该点或垂足点做棱的垂线，再连接另外一点和棱的垂足点；二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和连接的线段所夹的角。如图：在二面角α-l-β中，点A在平面α内， 线段AB垂直于平面β，垂足为点B，过点A在平面α内作棱L的垂线，垂足为点O，连接OB，由三垂线定理可知OB也垂直于棱L，所以二面角α-l-β的平面角就是∠AOB，注意这种方法不适用于直二面角。
③二面角中的特殊情况：有时候可以通过证明两个平面是互相垂直的，从而得到二面角的平面角是90度。
④通过面积比的方法：如果已知一个平面图形的面积是S，它在另外一个平面内的投影的面积是S′，则这个图形所在的平面和另外一个平面所成的二面角的平面角的余弦值为cosθ=■。
如图：△ABC的面积是S，它在平面？内的投影△DBC的面积是S′，则二面角A-BC-D的平面角的余弦值为cosθ=■。
小结：空间中角的计算问题是高考中的重要考点，解题时找角的方法是：线线角找平移；线面角找射影；面面角方法多（先找垂线，没有垂线按定义，实在不行看特殊情况或者图形的射影）。找到了所求角之后，在把这个角放到一个三角形中去计算就可以了。
例1：如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，BC′与B′C相交于O点，求：
①直线AO与直线A′C′所成角；
②直线AO与平面ABCD所成角的正切值；
③平面AOB与平面AOC所成角。
解析：①∵A′C′//AC.∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥OA（三垂线定理）.
在Rt△AOC中，OC=■，AC=■，∴∠OAC=30°。
②作OE⊥BC于点E，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中，OE=■，AE=■=■，∴tan∠OAE=■=■。
③∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB，∵OC平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°。
说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要包括求两条异面直线所成角（0，■]，直线和平面所成角[0，■]，二面角[0，π]三种；求角度问题解题的一般步骤是：①找出所求角；②证明该角符合题意；③作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案。
例2：如图，在四棱锥A-BCED中，AC垂直于底面BCED，BC⊥CE，且AC=BC=CE=4，BD=2，求：
①异面直线DE与AB所成角的余弦值；
②二面角A-ED-B的正弦值。
解析：①取EC的中点是F，连结BF，则BF∥DE，
∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，
在△BAF中，AB=4■，BF=2■，cos∠FBA=■，
∴异面直线DE与AB所成角的余孩值为■。
②AC⊥平面BCED，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG，可得DE⊥平面ACG，
从而AG⊥DE，∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角，
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=■，tan∠AGC=■。
参考文献：
[1] 翟连林.高中数学总结辅导[M].北京：中国农业机械出版社，1985.
[2] 郭民、秦德生.智慧数学[M].吉林：吉林人民出版社，2011.
[3] 阮伟强.空间中的角[J].中学数学教学参考，2016，（1-2）：96-99.
关键词：空间中；直线；平面；角；方法
空间中角的计算问题主要包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面与平面所成角。计算这些角的问题主要是要先找到这些角。
一、直线与直线所成角（异面直线所成角）
直线与直线所成角是空间中角的计算问题中最简单的一种，只需要通过平移将求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线的夹角问题即可。要注意的是求两条异面直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条异面直线所成的角或补角，它的范围是[0,■]。
二、直线与平面所成角
直线与平面所成角是空间中角的计算问题中最常见的一种，最主要的一点就是首先要找到该直线在这个平面内的射影，直线与平面所成角就是该直线与它在这个平面内的射影所夹的角，它的范围是[0,■]。
三、平面与平面所成角（二面角的平面角）
平面与平面所成角是空间中角的计算问题中的重点，考纲中把二面角列为重点的考查对象，也是学生最头痛的一类问题，首先就是要找到二面角的平面角，其主要方法有以下四类：
①按照定义寻找二面角的平面角：从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。如图：O是二面角α-l-β的棱L上的一点，在平面α内作OA⊥L于点O，在平面β内作OB⊥L于点O，则二面角α-l-β的平面角就是∠AOB。
②利用三垂线定理寻找二面角的平面角：这是寻找二面角的平面角最常用的方法。首先要在其中一个平面内找到一个特殊点，过这个特殊点做另外一个平面的垂线；然后过该点或垂足点做棱的垂线，再连接另外一点和棱的垂足点；二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和连接的线段所夹的角。如图：在二面角α-l-β中，点A在平面α内， 线段AB垂直于平面β，垂足为点B，过点A在平面α内作棱L的垂线，垂足为点O，连接OB，由三垂线定理可知OB也垂直于棱L，所以二面角α-l-β的平面角就是∠AOB，注意这种方法不适用于直二面角。
③二面角中的特殊情况：有时候可以通过证明两个平面是互相垂直的，从而得到二面角的平面角是90度。
④通过面积比的方法：如果已知一个平面图形的面积是S，它在另外一个平面内的投影的面积是S′，则这个图形所在的平面和另外一个平面所成的二面角的平面角的余弦值为cosθ=■。
如图：△ABC的面积是S，它在平面？内的投影△DBC的面积是S′，则二面角A-BC-D的平面角的余弦值为cosθ=■。
小结：空间中角的计算问题是高考中的重要考点，解题时找角的方法是：线线角找平移；线面角找射影；面面角方法多（先找垂线，没有垂线按定义，实在不行看特殊情况或者图形的射影）。找到了所求角之后，在把这个角放到一个三角形中去计算就可以了。
例1：如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，BC′与B′C相交于O点，求：
①直线AO与直线A′C′所成角；
②直线AO与平面ABCD所成角的正切值；
③平面AOB与平面AOC所成角。
解析：①∵A′C′//AC.∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥OA（三垂线定理）.
在Rt△AOC中，OC=■，AC=■，∴∠OAC=30°。
②作OE⊥BC于点E，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中，OE=■，AE=■=■，∴tan∠OAE=■=■。
③∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB，∵OC平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°。
说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要包括求两条异面直线所成角（0，■]，直线和平面所成角[0，■]，二面角[0，π]三种；求角度问题解题的一般步骤是：①找出所求角；②证明该角符合题意；③作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案。
例2：如图，在四棱锥A-BCED中，AC垂直于底面BCED，BC⊥CE，且AC=BC=CE=4，BD=2，求：
①异面直线DE与AB所成角的余弦值；
②二面角A-ED-B的正弦值。
解析：①取EC的中点是F，连结BF，则BF∥DE，
∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，
在△BAF中，AB=4■，BF=2■，cos∠FBA=■，
∴异面直线DE与AB所成角的余孩值为■。
②AC⊥平面BCED，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG，可得DE⊥平面ACG，
从而AG⊥DE，∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角，
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=■，tan∠AGC=■。
参考文献：
[1] 翟连林.高中数学总结辅导[M].北京：中国农业机械出版社，1985.
[2] 郭民、秦德生.智慧数学[M].吉林：吉林人民出版社，2011.
[3] 阮伟强.空间中的角[J].中学数学教学参考，2016，（1-2）：96-99.
