【正文】摘 要：探索有关圆中辅助线的几种常见作法有：作直径所对的圆周角或垂直于直径的弦；添加弦心距或过切点的半经；添公弦或公切线，也常添连心线；把半径，连心线，公切线集中在一个三角形中，转化为直角三角形或构造等腰三角形的问题来加以解决；还有时作辅助圆。根据题目的需要，作出相关的辅助线，可以帮助我们解决圆的有关问题。
　　关键词：圆；辅助线；作法
　　在有关圆的问题中，除少数极简易者之外，一般都需要添加辅助线。辅助线的作法千变万化，添加适当的辅助线是实现转化的重要手段。要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事，下面试探讨添加辅助线的基本方法。
　　解决圆的教学问题，往往需要在圆中添加适当的辅助线，辅助线是为实现解题思路而架设的桥梁，添加辅助线有一定的难度和技巧性。不适当的辅助线非但无助于解题思路的发现和展开，反而使图形更加混乱，使问题更加复杂。因此，我们努力做到有目的地添加辅助线。
　　当根据基本图形进行分析来沟通条件与结论的逻辑通路中断时，适当的添加一些辅助线，揭示一些隐含的已知条件就能达到添一线而全局皆活的效果。添加有效的辅助线：其一，可创造条件把已知条件与待解决的问题联系起来，从而找到解决问题的方法；其二，不仅已知条件中的相关因素相对集中了，而且包含了与待解决结论直接有关的因素；其三，扩大已知，揭露隐含的已知条件，发挥点、线的作用。
　　在充分认识到以上这些辅助线的意义和作用之后，我们可以发现，在圆的有关问题中添加辅助线实际上也是有规律可循的，从而就不会盲目的进行添线了，下面探讨有关圆的辅助线的几种常见作法。
　　一、 遇有半圆或圆中有直径，常作出直径所对的圆周角或作垂直于直径的弦。
　　例1 已知 在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线DM交AC于M,(如图1)







　　求证 DM⊥AC
　　分析:由AB是直径,故只要连结AD就得AB所对的
　　圆周角∠ADB=90O,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2,
　　再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B,故易证
　　∠AMD=∠ADB=90O,从而DM⊥AC.
　　例2 已知 AB为⊙O的直径, CD⊥AB垂足为D,C为弧AE的中点,连AE交CD于P点.(如图2):








　　求证 AP=CP.
　　分析:延长CD交⊙O于F点,由垂径定理易得
　　AF(弧)= AC(弧)= CB(弧),
　　∴∠CAE=∠ACF,从而AP=CP.
　　二、 遇圆中有弦，常常连结圆心和弦的端点，构造等腰三角形。
　　例3 已知 CD是⊙O的直径，∠EOD=84O，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A.(如图3)
　　分析:连结BO,BO=OE, ∠OBE=∠OEB
　　AB=OC=OB,∴ ∠A=∠BOA
　　又∵∠OBE=∠A+∠BOA=2∠A
　　∴∠E=∠OBE=2∠A
　　∴∠EOD=∠A+∠AEO=3∠A







　　例4 已知 AB是⊙O的直径,弦PQ交AB于M,并且PM=MO. (如图4)
　　求证 AP(弧)=BQ(弧).
　　分析:连结PO和QO得等腰三角形△PMO和等
　　腰三角形△POB
　　∠MPO=∠MOP=∠PQO
　　∠QOB=∠QMO+∠PQO=∠MPO+∠AOP+∠PQO=3∠AOP
　　∴AP(弧)=BQ(弧).







　　三、 遇圆中有切线，常连结过切点的半径或过切点的弦。
　　例5已知 ⊙O的两个半径OA⊥OB，P为OB上任一点，连结AP并延长交⊙O于Q，过
　　Q作切线与OB延长线交于C，（如图5）
　　求证 CP=CQ
　　分析：因CQ为切线，故可连结OQ，则
　　∠OAP+∠OPA=∠OQP+∠PQC=90O，而
　　∠OQP=∠OAP，∠OPA=∠QPC。
　　∴∠PQC=QPC，∴CP=CQ








　　例6 已知 △ABC中，∠1=∠2，⊙O过A、D两点，且与BC切于D点，（如图6）求证：  EF//BC。
　　分析：欲证EF//BC，可找同位角或内错角是否相等，
　　显然同位角相等不易证，于是可连结DE，
　　得一对内错角∠BDE与∠DEF，                                       
　　由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，
　　故易证EF//BC。
　　（说明：由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。）








　　四、两圆相交或相切，常添公共弦或公切线，也常添连心线。
　　例7 已知两圆相交于A、B两点，P为⊙O2上的任意点，
　　PE为切线，连结PA、PB与⊙O2分别交于C、D两点，（如图7）.
　　求证 CD∥PE







　　分析:两圆相交时,常添公共弦以联系两圆内元素间的关系,
　　连结AB,由弦切角定理及A、B、C、D四点共圆的关系，
　　就有∠1=∠2=∠3，∴CD∥PE
　　例8 已知 ⊙O1与⊙O2外切于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与⊙O2于点A、B、C、D，（如图8） 
　　求证  PB·PC=PA·PD。
　　分析：欲证PB·PC=PA·PD，
　　即证PA∶PB=PC∶PD，由此
　　可作辅助线AC、BD，并证
　　AC//DB，要证平行，只需证
　　一对内错角相等，如∠C=∠D，
　　然后考虑到这两个角分别与弦
　　切角有关，进而再作辅助线即
　　两圆公切线MN，从而问题迎刃而解。









　　五、 在有关两圆公切线的问题中，常把半径，、连心线、公切线集中在一个三角形中，转化为直角三角形的问题来加以解决。
　　例9 两圆外切，则外公切线长是两圆直径的比例中项。







　　已知 ⊙O1和⊙O2外切于点P，它们的半径分别为r1和r2，AB为两圆的外公切线长，（如图9）
　　求证 AB2=2r1·2r2
　　分析：连结连心线O1O2（必过P点），过O2作
　　O2C⊥O1A，这样就把条件集中在Rt△O1O2C中了，
　　于是有AB2=OC22=（r1+r2）2-（r1-r2）2=4r1r2=2r1·2r2
　　即证
　　例10已知 ⊙O1与⊙O2内切于点T，经过切点T的直线与⊙O1与⊙O2分别相交于点A和B，（如图10）
　　求证  TA∶TB=O1A∶O2B。
　　分析：欲证TA∶TB=O1A∶O2B，可考虑证这
　　四条线段所在的三角形相似，即证△TO1A∽△TO2B，
　　于是只需连结O2O1，并延长，必过切点，则产生
　　△TO1A和△TO2B，由∠1= ∠2=∠T，则O1A// O2B，
　　易证线段比相等。








　　六、 根据四点共圆的条件作辅助圆。
　　例11已知从两圆心外一点P，作大圆的切线PA及小圆的切线PB和PC，A、B、C是切点，（如图11）







　　求证 ∠OAB=∠OAC。
　　分析：欲证∠OAB=∠OAC，得证∠OAB，
　　∠OAC是同圆中等弧或同弧所对的圆周角即可，
　　连结OB、OC、OP，根据“四点共圆”的条件得
　　O、B、A、C四点都在以OP为直径的圆上，
　　从而可得小圆上的两弦OB、OC（它们是小圆的半径）相等，
　　即：OB=OC，因此，∠OAB=∠OAC。
　　例12已知 CD⊥AB于D，DE⊥BE于E，DF⊥AC于F，
　　（如图12）
　　求证 A、B、E、F共圆。
　　分析：要证A、B、E、F四点共圆，只需证∠1=∠A，
　　而由已知C、F、D、E四点共圆得∠1=∠2，又CD⊥AB，
　　DF⊥AC，∴∠2=∠A，因此∠1=∠A，问题得证。








　　圆中辅助线的添加，是学习有关圆问题的一个难点，学生在做圆的问题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。
　　参考文献：
　　[1]刘千章编著. 巧添辅助线[M],科学出版社。
　　[2]杨德泽等编. 精讲 精练 精编[M],吉林教育出版社,2001。
　　[3]王岳庭等编. 几何难点辅导[M],青海人民出版社出版。
　　[4]怎样添加平面几何辅助线[M]，北京：中国致公出版社。
　　[4]初等几何研究（平面部分）[M]，吉林教育出版社。