【正文】
　　证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高的转化、放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合的考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的第一小题求解策略往往是：通过多角度观察所给数列的通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地证明，而今年又新增了数学归纳法这一考点，用数学归纳法证明数列不等式值得我们重视。本文从数列不等式中项的大小进行证明探究，归纳出三种类型。
　　一、项的范围证明
　　例题1、已知数列｛an｝满足an+1=an2-an+1，｛an｝的前n 项和为Sn，证明：对任意n∈N*，当0≤a1≤1,0≤an≤1。
　　【证明】①当n=1时，0≤a1≤1成立
　　②假设当n=k时，0≤ak≤1成立,
　　则当n=k+1时，a(k+1)＝ak2-ak+1=(ak-■)2+■
　　由于0≤ak≤1，所以■≤a(k+1)≤1，所以0≤a(k+1)≤1
　　由①②得对任意n∈N*，0≤an≤1
　　例题2、已知数列｛an｝满足an＞1,a1=2，且（n+1）an+12=nan2，证明：an＞1
　　【证明】①当n=1时，a1=2>1成立
　　②假设当n=k时，ak>1成立,
　　则当n=k+1时，a(k+1)2＝■ak2+■ ak>■+■=1,
　　因为an>0,所以,a(k+1)>1
　　由①②得对任意，
　　例题3、数列｛an｝满足a1=1，且an+1=■an+■an2，证明：0＜an≤1
　　【证明】①当n=1时，0<a1=1≤1成立
　　②假设当n=k时，0<ak≤1成立,
　　则当n=k+1时，0<a(k+1)＝■ ak+■  ak2≤■+■  ≤■+■=1
　　由①②得对任意n∈N*，0<an≤1
　　【归纳总结】在用数学归纳法证明项的范围时，由ak的范围证明a(k+1)范围时可以应用放缩法、也可以看作函数值域求解。
　　二、数列单调性证明
　　例题4、已知数列｛an｝满足an2-an-an+1+1=0,a1=2证明：数列｛an｝为递增数列
　　【证明】方法一：因为a(n+1)=an2-an+1,
　　则a(n+1)-an=an2-2an+1=(an-1)2≥0，由于a1=2, 
　　则a(n+1)-an>0,故数列为递增数列
　　方法二：①当n=1时，a2=3>a1=2成立
　　②假设当n=k时，a(k+1)>ak成立,
　　则当n=k+1时，a(k+2)-a(k+1)=a(k+1)2-a(k+1)+1-ak2+ak-1
　　=(a(k+1)2-ak2 )-(a(k+1)-ak )=(a(k+1)-ak )(a(k+1)+ak-1)
　　因为 a(k+1)>ak≥a1=2,所以a(k+2)-a(k+1)>0
　　由①②得对任意，a(n+1)>an,故数列为递增数列
　　例题5、已知正项数列｛an｝满足an+12=an+2,a1=3证明：数列｛an｝为单调递减数列
　　【证明】因为a(n+1)2=an+2，则a(n+1)2-an2=-an2+an+2=-(an-2)(an+1)
　　因为是正项数列，要使数列｛an｝为单调递减数列，只要a(n+1)2-an2<0，只要an>2.下面证明an>2
　　①当n=1时，a1=3>2成立
　　②假设当n=k时，ak>2成立,
　　则当n=k+1时，a(k+1)2=ak+2>2+2=4，因为是正项数列，所以a(k+1)>2
　　由①②得对任意，an>2,所以数列为单调递减数列
　　例题6、已知数列｛an｝满足an+1=■,a1=0证明：an+1＞an
　　【证明】因为a(n+1)-an=(an2+an+1)/(an+1)-an=1/(an+1),要使得，只要1/(an+1)>0,即an>-1.下面证明an>-1
　　当n=1时，a1=0>-1成立
　　假设当n=k时，ak>-1成立,
　　则当n=k+1时，a(k+1)=■=ak+■1>ak>-1
　　由①②得an>-1, 所以an+1＞an
　　例题7、已知数列｛an｝满足a1=■,an+1=■,a1=0,证明：an+1≥an
　　【证明】方法一：由a(n+1)=■,则■=■+■,得■-1=■(■-1),因此■ -1= ■ (■)(n-1),得an=■,得an+1≥an
　　方法二：由已知得an≥0，要使得an+1-an=■-an=■≥0，
　　只要an≤1. 下面证明an≤1
　　当n=1时，a1=0≤1成立
　　假设当n=k时，ak≤1成立,
　　则当n=k+1时，ak+1=■=■-■≤■-■=1
　　由①②得an≤1, 所以an+1≥an
　　【归纳总结】在进行数列单调性证明时，可先通过作差把式子变形，转化为项的范围证明，起到简化作用。最后的范围证明仍然可以看作函数最值（值域）求解。
　　三、多个不等递推关系证明
　　例题8、已知数列{an}满足a1=■,an=an-12+an-1(n≥2且n∈N),
　　证明：22n-1-■≤an≤■ 32n-1)
　　【证明】①当n=1时，22(1-1)-■≤a1=■≤■32(1-1) 成立
　　②假设当n=k时，22(k-1) -■≤ak≤■ 32(k-1) 成立,
　　则当n=k+1时，a(k+1)=ak2+ak≥(22(k-1) -■)2+22(k-1) -■=22k -■ ≥22k -■，
　　a (k+1)=a k2+a k≤(■ 3(2(k-1) )2+■ 3(2(k-1) )=■ 3(2k )+■ 3(2(k-1) )=■ (■ 3(2k )+3(2(k-1)  )
　　由于k≥2,则3(2k )≥4, ■ 3(2k ) 3(2k )≥3(2k ),故 ■ 3(2k )≥■=32(k-1) ，
　　所以■ (■ 3(2k )+32(k-1) ≤■32k 
　　由①②得n≥2且n∈N，22(n-1)-■≤a n≤■ 32(n-1) 




































　　【方法规律】多个不等递推关系证明时，可以采用数学归纳法证明，也可以采用放缩法、分析法证明。碰到递推关系时，还可以看作二元方程，通过消元方法转化为函数求值域。
　　参考文献：
　　[1]王帅. 以一道高考数列问题为例谈解题思路的寻找.中学数学(上),2014(9)
　　[2]彭卫星.解决与数列有关的不等式求和问题若干策略——以2014年高考新课标卷Ⅱ第17题为例.中学数学(上),2014(10)
　　[3]李歆.回归催生本源,形式决定思路——2014年高考数学全国新课标Ⅱ卷理科第17题探究. 中学数学(上),2015(1)