刊名： 教学与研究
Teaching and Research
主办： 中国人民大学
周期： 月刊
出版地：北京市
语种： 中文;
开本： 大16开
ISSN： 0257-2826
CN： 11-1454/G4
邮发代号： 2-256
历史沿革：
现用刊名：教学与研究
创刊时间：1953
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浅谈高中函数最值问题的求解方法
【作者】 安 飞
【机构】 贵州省思南县第六中学数学组
【摘要】在当前函数最值问题是高中数学学习过程中永恒的话题，求函数最值问题是经常会遇到的，并且，最值问题在我国高考的试卷中也占有较大的比重。因此，高中数学老师在具体的教学过程中一定要突出这一重点，在教授有关函数最值问题时一定要仔细的讲解，要多涉及与函数最值有关的知识点，还要多给同学们布置一些有关函数求最值这方面的习题，只有让同学们在平时多练习，他们才可以更好的巩固和掌握函数求最值这一方面的知识点，从而就可以更好的促进他们在学习方面的进步。【关键词】高中；数学；函数；最值问题
【正文】
本文为了更好地帮助同学们学习有关于函数求最值的知识，特别的就针对函数求最值这一方面进行了相关的探讨，主要介绍高中函数求最值的几种方法，希望可以有利于同学们对于函数求最值这一方面的学习有所帮助。求函数最值的常用方法有：
一、观察法
解题步骤：第一步 观察函数中的特殊函数；
第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
例1 求函数y=■的值域.
【解析】由函数y=■，则： 16-4x≥0,4x≤42，x≤2定义域为：x≤2 得：0＜4x≤16,0≤16-4x＜16， 值域为：[0,4)。
二、分离常数法
解题步骤：第一步 观察函数f(x)类型，型如f(x)=■；
第二步 对函数f(x)变形成f(x)=■+■形式；
第三步 求出函数y=■在f(x)定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
例2 求函数f(x)=■的值域.
【解析】函数f(x)=■=■=3+■根据反比例函数的性质可知：■≠0,所以y≠3,所以函数的值域为{y|y≠3}
三、配方法
解题步骤：第一步 将二次函数配方成y=a(x-b)2+c；
第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
例3 求函数f(x)=x2+4x-6,x∈[0,5]的值域.
【解析】∵f(x)=x2+4x-6=-（x-2）2-2,x∈[0,5]
∴x=2时f(x)有最大值-2，x=5时f(x)最小值-11
∴f(x)的值域为[-11,-2]
四、换元法
解题步骤：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
例4 求函数y=x+■的值域.
【解析】令t=■＞0,x=■，原函数化为y=-■t2+t+■(t≥0)，其开口向下，并且对称轴是t=1，故当t=1时取得最大值为，没有最小值，故值域为(-∞,1]. ≤
五、基本不等式法
解题步骤：
第一步 观察函数解析式的形式，型如y=■或y=■的函数；
第二步 对函数进行配凑成y=ax+■形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域。
例5 已知x≥■，求函数 f(x)=■的最小值.
【解析】∵x≥■
∴x-2,f(x)=■=■=■+■≥1
当且仅当■=■,即x=3时等号成立，
因为x=3在定义域内，所以 最小值为1.
本题主要考查函数的性质及基本不等式，利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
六、单调性法
解题步骤：第一步 求出函数的单调性；
第二步 利用函数的单调性求出函数的值域.
例 6 求函数f(x)=log (x2-3x+5)(0≤x≤2)的值域.
本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.
七、导数法
解题步骤：第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第二步 利用函数的图像求出函数的值域.
例7函数地f(x)=x3,x∈[0,2]，则f(x)的值域.
【解析】∵f(x)在[0,2]上是增函数，
∴0≤x3≤8，
∴0≤f(x)≤8，
故f(x)的值域[0,8].
综上可知，函数的最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互相补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：判别式法、几何法、向量法、待定系数法、三角函数法等等，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间，同时，在解题过程中要注意函数的定义域和定义域的改变，避免出现错误。
参考文献：
[1]方晓华，吴凤香，黄宝存。函数最值问题的解法探讨。2002,2
[2]戚雪敏，浅谈求函数最值问题的方法 2011,11
本文为了更好地帮助同学们学习有关于函数求最值的知识，特别的就针对函数求最值这一方面进行了相关的探讨，主要介绍高中函数求最值的几种方法，希望可以有利于同学们对于函数求最值这一方面的学习有所帮助。求函数最值的常用方法有：
一、观察法
解题步骤：第一步 观察函数中的特殊函数；
第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
例1 求函数y=■的值域.
【解析】由函数y=■，则： 16-4x≥0,4x≤42，x≤2定义域为：x≤2 得：0＜4x≤16,0≤16-4x＜16， 值域为：[0,4)。
二、分离常数法
解题步骤：第一步 观察函数f(x)类型，型如f(x)=■；
第二步 对函数f(x)变形成f(x)=■+■形式；
第三步 求出函数y=■在f(x)定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
例2 求函数f(x)=■的值域.
【解析】函数f(x)=■=■=3+■根据反比例函数的性质可知：■≠0,所以y≠3,所以函数的值域为{y|y≠3}
三、配方法
解题步骤：第一步 将二次函数配方成y=a(x-b)2+c；
第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
例3 求函数f(x)=x2+4x-6,x∈[0,5]的值域.
【解析】∵f(x)=x2+4x-6=-（x-2）2-2,x∈[0,5]
∴x=2时f(x)有最大值-2，x=5时f(x)最小值-11
∴f(x)的值域为[-11,-2]
四、换元法
解题步骤：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
例4 求函数y=x+■的值域.
【解析】令t=■＞0,x=■，原函数化为y=-■t2+t+■(t≥0)，其开口向下，并且对称轴是t=1，故当t=1时取得最大值为，没有最小值，故值域为(-∞,1]. ≤
五、基本不等式法
解题步骤：
第一步 观察函数解析式的形式，型如y=■或y=■的函数；
第二步 对函数进行配凑成y=ax+■形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域。
例5 已知x≥■，求函数 f(x)=■的最小值.
【解析】∵x≥■
∴x-2,f(x)=■=■=■+■≥1
当且仅当■=■,即x=3时等号成立，
因为x=3在定义域内，所以 最小值为1.
本题主要考查函数的性质及基本不等式，利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
六、单调性法
解题步骤：第一步 求出函数的单调性；
第二步 利用函数的单调性求出函数的值域.
例 6 求函数f(x)=log (x2-3x+5)(0≤x≤2)的值域.
本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.
七、导数法
解题步骤：第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第二步 利用函数的图像求出函数的值域.
例7函数地f(x)=x3,x∈[0,2]，则f(x)的值域.
【解析】∵f(x)在[0,2]上是增函数，
∴0≤x3≤8，
∴0≤f(x)≤8，
故f(x)的值域[0,8].
综上可知，函数的最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互相补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：判别式法、几何法、向量法、待定系数法、三角函数法等等，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间，同时，在解题过程中要注意函数的定义域和定义域的改变，避免出现错误。
参考文献：
[1]方晓华，吴凤香，黄宝存。函数最值问题的解法探讨。2002,2
[2]戚雪敏，浅谈求函数最值问题的方法 2011,11
