【正文】波利亚认为：中学数学的首要任务就是加强解题的训练，因为在解题中不仅可以巩固基本知识，掌握解决问题的基本技能，同时还可以促进学生思维与素养的发展。然而若是将其理解为题海战术，则将使学生感受不到学习的乐趣，从而产生厌恶心理，抑制学生创新思维的发展，因此教师因思考如何让学生对问题研究得更深刻，更透彻，实现认知结构的迁移，在解题过程中感受到学习的乐趣，真正让学生的数学思想、能力达到提升。这里笔者通过类比联想，巧妙串题引导学生注重解题后的联想，重视拓展解题思路，达到遇题化难为易，迎刃而解的目的。所谓串题是指通过类比联想把一些形式相似，内容相近的题目串联在一起，一同讲解的教学方法。下面是笔者在这方面的一个小尝试。
　　一、原题呈现        





       



　　已知，如图1，在△ABC中，∠A=α，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，求∠P度数
　　学生很容易想到应用整体思想，先求出∠ABC+∠ACB=180-α，然后求出∠PBC＋∠PCB=■(∠ABC+∠ACB)=90-■α，最后求出∠P=180-（∠PBC＋∠PCB）=90+■α
　　二、类比变形，找通性
　　变式一：已知如图2，在△ABC中，∠A=α，BN，CN分别平分∠ABC和∠ACB相邻的外角，求∠N度数
　　这种变化难不倒学生，学生类比迁移解变式一，再次灵活应用整体思想，先求出两个外角度数和为180+α，那么两个外角和的一半为90+■α，最后求出∠N=180-（∠NBC＋∠NCB）=90-■α
　　类比发现，掌关联












　　仔细观察两题答案，发现∠P与∠N互补，于是我们让学生将两个图形叠加学生很容易发现相邻内角外角平分线互相垂直，根据四边形内角和360度，马上可以得出∠P,∠N互补，只要求出∠P，其实∠N立马就可以得出，P,B,N,C四点共圆。
　　联想转化，巧串题
　　变式二：已知，如图3，四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=β，AQ,BP,CP,DQ分别平分四个内角，交于点E,F,求∠P+∠Q






（3）
　　若用寻常思路解决此题，学生同学使用整体思想，先利用∠ABC+∠DCB=β求出∠PBC+∠PCB=■β,再求出∠P=180-■β，然后求出∠BAD+∠CDA=360-（∠ABC+∠ACB）=360-β，然后同理求出∠QAD+∠QDA=■（∠BAD+∠CDA）=■（360-β）=180-■β，∠Q=180-（180-■β）=■β，∠P+∠Q=180，然而联想上题两图，我们可以延长BA,CD,交于点H，从而将四边形转化成一个三角形，∠Q是由三角形HAD的两条外角平分线构成，∠Q=90■∠H，而∠P是由三角形HBC的两条内角平分线构成，∠P=90+■∠H，因此∠P+∠Q=180，极大地简化了解题思路。
　　变式三：已知如图4，三角形ABC中，∠A=α，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB相邻的外角，BP2平分∠CBP，CP2平分∠BCP相邻的外角这样一直操作n次，求∠P_n
















　　此题对学生来说有很大难度，我们可以使用归纳猜想法，先从图中分解出做一次内角平分线和外角平分线的图形，如图5，再次联想相邻内外角平分线之间的关系，做∠ACB平分线CQ，交BP于点Q,则∠PCQ为90度，而∠BQC为90+■α，那么∠P=∠BQC-∠PCQ=■α。然后再次分解出三角形BCP如图6，用同样的做法得出∠P2=■∠P=〖(■)〗2α,以此类推，得出∠Pn=〖(■)〗nα，将此题难度降低了不少。
　　变式四：已知，如图7，四边形ABCD中，∠ABC+∠ACB=β，BE1平分∠ABC，CE1平分∠DCB相邻的外角，BE2平分∠CBE1，CE2平分∠BCE1相邻的外角这样一直操作n次，求∠En











　　咋一看此题难度很大，但联想上几题，我们可以把四边形转化成三角形如图8，难题就迎刃而解了。
　　变式五：已知如图9，三角形ABC中，点O是边AC上的一个动点，过O做直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB相邻的外角的平分线于点F。
　　（1）求证：OE=OF
　　（2）若CE=12，CF=5，求OC的长
　　（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由。










　　学生见到动点问题，就怕了，但联想三角形相邻内外角角平分线关系，可以得出不管点O 怎么动，∠ECF始终为90度，由平行线性质得出∠FEC=∠ECB，而∠ECB=∠ECO，从而得出∠ECO=∠FEC，得出OE=OC,同理可得OF=OC，从而得出OE=OF,O 为EF中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OC=■EF，第2小题很容易就解决了，而要保证四边形AECF是矩形，在已得出的结论下，只需满足四边形AECF是平行四边形即可，即只需满足OA=OC即可。
　　启示反思
　　波利亚说过，类比是一个伟大的引路人，通过类比联想，将上述各题进行了类比结合，串通，引导学生追求解题成果的深化和扩大，帮助学生举一反三，极大地增加了学生学习的兴趣，调动了学生学习的积极性，扩大了学生的眼界，加深了学生对知识的横纵联系，让学生对此类问题研究得更深刻透彻，学会寻找问题间的本质联系，进行有效的思维整合，真正让学生的数学思想能力达到了提升，实现解题教学的高效发展，当然这也要求我们教师在平时的教学过程中要多进行反思引导，让学生在解题教学中学会自由地、不断地思考，在这个过程中磨练意志，享受思考的乐趣，体验数学带来的无限愉悦。