【正文】 　所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一的研究时，如不能用同一标准、同一运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答。实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。分类讨论时，应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”。
　　一、分类讨论思想在教学中的地位
　　新课程对我们数学教师提出了更高的要求，在数学教学过程中，我们不仅要组织学生探索知识，更应该引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想。普通高级中学数学课程标准明确指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”
　　分类讨论思想贯穿于整个数学教学中,在教学活动中“分类讨论数学思想”将是依据数学对象本质属性的异同,选取适当的标准不重复不遗漏地将其分为若干类,然后逐类进行讨论来解决问题的一种数学思想方法,它是数学发现的重要手段,它是解决数学问题的一种重要思想方法。它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思想条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
　　二、确定分类的标准
　　1、由数学概念、公式、法则而引起的分类讨论：
　　如绝对值定义、不等式定义、二次函数的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等。这些数学概念本身就包含了分类讨论。
　　例1：求二次函数y=x2-mx+2在闭区间[2,3]上的最大值ymax的表达式。
　　问题分析：二次函数y=x2-mx+2的对称轴为x=■。根据二次函数的性质，在开区间[-∞,■]上，二次函数y=x2-mx+2单调递减，在开区间[■,+∞]上，二次函数y=x2-mx+2单调递增。因此本题需要分类讨论，来确定闭区间[2,3]与对称轴x=■的位置关系。可以分为三种情况：（1）闭区间[2,3]在对称轴x=■的左边，即m＞6；（2）对称轴x=■在闭区间[2,3]内，即4≤m≤6；（3）闭区间[2,3]在对称轴x=■的右边，即m＜4。
　　解：当m＞6时，此时函数y=x2-mx+2在闭区间[2,3]上单调递减，ymax=6-2m
　　当4≤m≤6时，此时函数y=x2-mx+2在区间[2,■]上单调递减，在区间[■,3]上单调递增。因此在x=2和x=3处，均可能取最大值。
　　当x=2，y=6-2m     当x=3,y=11-3m，
　　因此，5≤m≤6时，ymax=6-2m；4≤m≤6时，ymax=11-3m
　　当m＜4时，此时函数y=x2-mx+2在区间[2,3]上单调递增，ymax=11-3m
　　综上可知，当m≥5时，ymax=6-2m；当m＜5时，ymax=11-3m。
　　本题是根据二次函数在不同的区间上具有不同的单调性来进行分类的。如果函数在定义域内是单调的，那么函数在区间的端点处取得最值。如果函数在定义域内不是单调的，那么需要根据函数在区间的单调性进行分类，保证函数在分解的区间内是单调的，这是解决含有参数的函数的最值问题常用的方法。
　　2、在运算过程中引起的分类讨论
　　有些数学问题在运算过程中产生两种以上的情况就需要分类进行讨论。如不等式的两边同乘以一个变量就需要讨论这个变量是正、负还是零；在求解等比数列的和时，就需要讨论公比是否为1.这类问题大多是有数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论。
　　例2：求和Sn=a+a2+a3+…+an=                             
　　解  当a=0时，Sn=0；当a≠0时，此题为等比数列求和：
　　（1）若a≠1时，则由求和公式Sn=■
　　（2）若a=1时，Sn=n
　　由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的，因此应用等比数列求和公式也需要讨论，这里进行了两次分类：第一次是等比数列的概念；第二次是等比数列求和公式的应用条件。
　　3、 由参数的变化引起的分类讨论
　　当数学问题含有参数或者变量时，它们取不同的值会对问题产生不同的结果；或者不同的参数要运用不同的求解或证明方法。因此含参数问题，解题时必须根据参数的不同取值范围进行讨论，以解决问题。
　　例3．设函数f(x)=x-■．对任意x∈[1,+∞]，f(mx)+mf(x)＜0恒成立，则实数m的取值范围是                             
　　解 : 显然m≠0，由于函数f(x)=x-■对x∈[1,+∞]是增函数，
　　则当m＞0时，f(mx)+mf(x)＜0不恒成立，因此m＜0．
　　当m＜0时，函数h(x)+f(mx)+mf(x)在x∈[1,+∞] 是减函数，
　　因此当x=1时，h(x)取得最大值h(1)=m-■，
　　于是h(x)=f(mx)+mf(x)＜0恒成立等价于h(x)(x∈[1,+∞] )的最大值小于0，
　　即h(1)=m-■＜0，解得m-■＜0m＜-1．于是实数m的取值范围是[-∞,-1]
　　分类讨论思想是解决复杂数学问题的一种重要的策略，它贯穿于整个的数学理论知识体系，在数学教学的各个阶段都起到非常重要的作用。该种思想对于培养学生思维的严密性、严谨性、灵活性和提高学生分析解决实际问题的能力具有很大的帮助。分类讨论思想在整个的高中数学中具有非常重要的作用，因此分类讨论思想的教学不同于一般的数学知识那样，在较短的时间内就可以完全的掌握。因此，在教学的过程中应该有意识的将分类讨论的思想渗透其中，在解决问题时让学生进一步的学习分类方法，增强思维的慎密性，提高合理解题的能力。通过对问题的解决使学生知道在解决什么问题时需要分类，为什么要分类，如何对该问题进行合理的分类以及分类的原则与标准。但是必须注意，在运用分类讨论思想时，不要盲目地或机械式地进行分类讨论，同时在解决实际的问题时，要结合数形结合思想、类比思想等，从而达到迅速准确解决实际问题的目的。