【正文】
　　数学是解决物理问题的重要工具，运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，用数学方法处理物理问题在高中物理教学中十分常见，近几年的高考试题中也是层出不穷。因为极值问题范围广、习题多，高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多高中学生数、理结合能力差，求物理极值方法较少，教师应该在高考物理专题复习中提供多种求极值的方法。本文总结七种求解物理极值问题的方法举例说明。
　　1、利用顶点坐标法求极值
　　对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,
　　若a>0,则当x=-■时,y有极小值，为ymin=■；
　　若a<0,则当x=-■时,y有极大值，为ymax =■；
　　2、利用一元二次函数判别式求极值
　　对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法
　　利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
　　若y≥A，则ymin＝A。
　　若y≤A，则ymax＝A。
　　3、利用配方法求极值
　　对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x－A )2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。
　　4、利用均值定理法求极值
　　均值定理可表述为■≥■，式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。
　　当a＝b时，  (a+b)min＝2■ 。
　　当a＝b时，  (ab) max＝(■)2。
　　例1：如图1所示的电路中。电源的电动势ε＝12V，内阻r＝0.5Ω，外电阻R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器R3＝5Ω。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中电压表的示数有最大值?最大值是多少?
　　分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R. 则：
  R=■
   =■
   =■












　　先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax，下面用四种方法求解Rmax。
　　[方法一] 用顶点坐标法求解
　　抛物线方程可表示为y＝ax2+bx+c。
　　考虑R＝■=■，
　　设y＝-x2+6x+16，
　　当x＝-■＝ —■＝3时，Rmax(3)＝■ ＝2.5Ω。
　　[方法二] 用配方法求解
　　考虑R＝■  ＝■=■。
　　即x＝3Ω时，Rmax＝■Ω。
　　[方法三] 用判别式法求解
　　考虑R＝ ■ ，则有-x2+6x+16-10R＝0，
　　Δ＝b2-4ac＝36-4×(-1)×(16-10R)＞0，即：100-40R≥0，
　　R≤2.5Ω，即Rmax＝2.5Ω。
　　[方法四] 用均值定理法求解
　　考虑R＝■，设a＝2+x；b＝8-x。
　　当a＝b时，即2+x＝8-x，
　　即x＝3Ω时，Rmax(3)＝ ■ ＝2.5Ω。
　　也可以用上面公式(ab)max＝[■]2＝25，
　　 Rmax=■＝=■=2.5Ω。
　　以上用四种方法求出Rmax＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。
　　Imin＝■ ＝■A＝4A。Umax＝ε- Iminr＝12-40.5V＝10V。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5Ω处，电压表有最大值，最大值为10伏。
　　例2：如图2所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M＝0.99kg的木块，一颗质量为m＝0.01Kg的子弹，以V0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大?最大值为多少?  







　　[解析]:子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1，则：
　　mV0＝(m+M)V1，
　　所以：V1=■V0＝■×400m/s=4m/s
　　设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能守恒：
  ■(M+m)v12=2(m+M)gR+■(m+M)V22
　　所以：V2=■
　　=■=■=■
　　则平抛后的位移可以表示为：
　　X =V2t =V2×■=■
　　＝4■。
　　因为a=-1<0,所以水平位移X应该存在最大值。当R=-■=-■=0.2m时，
　　Xmax＝0.8m
　　例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。
　　[解析]:要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足
　　V0t-  ■at2＜Vt+S （式中S为汽车刹车时与自行车间距）
　　代入数据整理得：3t2-18t+S>0，
　　显然，当满足△＝b2-4ac0，
　　即△＝182-4×3S≥0得：S≤27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27m时是汽车与自行车不相撞的条件。
　　5、利用三角函数求极值
　　如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式，则y=■Asin2α，在α=450时，y有极值■。
　　对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。
　　考虑asinθ+bcosθ＝■ (■sinθ+■cosθ)
　　＝ ■ (cosфsinθ+sinфcosθ)
　　＝■ sin(θ+ф)
　　其最大值为。




　　例4：如图5所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
　　[解析]：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：
  ■mV2=mgRcosθ
  FN-mgcosθ=m■
　　解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=■mgsin2θ







　　根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= Nx=■mgsin2θ
　　可以看出：当sin2θ=1,即θ=450时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=■mg。
　　例5：如图6所示。质量为m的物体由力F牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F最小时的牵引角θ。(F的方向是随θ变化的。)







　　[解析]：因物体匀速直线运动，所以有：
　　Fcosθ-f＝0     ①
　　f＝μN＝μ(mg-Fsinθ)    ②
　　②代人①得：Fcosθ-μmg+μFsinθ＝0
　　即：F＝■ 。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。由前面的“化一”结论得：a sinθ+b cosθ＝■sin(θ+ф)
　　考虑本题分母：μsinθ+cosθ与a sinθ+b cosθ用比较法，得：a＝μ；b＝1。
　　于是tgф＝■=■，则ф＝arc tg■。所以，μsinθ+cosθ＝■sin(θ+arc tg■)。
　　要使F最小，则分母μsinθ+cosθ需最大，因此，θ+arc tg■＝■。
　　所以有：θ＝■-arc tg■＝■-arc ctgμ=arc tgμ。
　　即：θ=arc tgμ时，F最小。
　　作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F＝■。考虑■，则有μcosθ-sinθ＝0则θ＝arc tgμ，即当F最小时，牵引角θ＝arc tgμ。
　　6、用图象法求极值
　　通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
　　例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4m／s2，4s后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2m／s2，10s后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。
　　分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4s后甲做匀速直线运动的速度为：V甲=a甲t甲＝44 m／s＝16m／s。  
　　乙10s后做匀速运动的速度为：V乙＝a乙t乙＝210 m／s＝20m／s。










　　可画出v—t如上图7所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t＝8秒时，两物体的速度相等，因此．在t＝8秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。
　　即S max＝■×4×16 + 4×16 —■× 8×16＝32(m)。  
　　用分析法求极值在物理计算中较常见。经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。
　　7、用分析法求极值
　　分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。
　　例7：如图8所示，用力F推质量为M的物体．物体与地面间的动摩擦因数为μ，当外力F与水平方向夹角θ最小为多大时，无论外力F多么大均不能使物体前进？







　　[解析]：　如图8所示，物体受重力mg,支持力FN，摩擦力f和外力F四个共点力作用，物体静止不动时受力平衡，必满足：
　　FN=Mg+fsinθ…①
　　Fcosθ≤f…②
　　F=μFN…③
　　由①②③式得：Fcosθ≤μ(Mg＋Fsin θ)．
　　化简得：F(cos θ－μsin θ)≤μMg
　　因为无论F多大，上式均成立，则当F→∞时，不等式也成立，此时θ取最小值θ0，因此，最小角满足方程cosθ0－μsinθ0＝0，则tan θ＝■.
　　例8：如图9所示。AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L，导轨平面与平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。求ab棒的最大速度。







　　[解析]：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒ab横截面受力如上图9所示。
　　在下滑过程中，ab受重力mg，支持力FN＝mgcosθ，摩擦力f＝μmgcosθ，安培力F安＝■。沿导轨平面有：
　　mgsinθ-μmgcosθ-■=ma     ①
　　ab由静止加速下滑会导致：速度V增大，安培力F安增大，合外力F减小，加速度a减小。
　　当a＝0时，ab速度到达最大，即：V＝Vmax所以①式变为
　　mgsinθ—μmgcosθ—■=0    ②
　　②解式得：Vmax＝■。
　　综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。