刊名： 教学与研究
Teaching and Research
主办： 中国人民大学
周期： 月刊
出版地：北京市
语种： 中文;
开本： 大16开
ISSN： 0257-2826
CN： 11-1454/G4
邮发代号： 2-256
历史沿革：
现用刊名：教学与研究
创刊时间：1953
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转化与化归思想方法的应用
【作者】 雷 娟
【机构】 陕西省安塞县高级中学
【摘要】新课改的进程不断深入促进了我国高中数学教学的发展，教学质量的提高有目共睹。本文从解方程式的角度出发，论述了化归思想在解决高中数学问题的良好效果。同时本文简要分析了化归思想的运用现状，最后提出了提高化归思想以及掌握化归能力的具体措施，以期给广大教育工作者些许有用的借鉴。【关键词】化归；高中；数学教学；应用探析
【正文】
转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。
一、化归思想方法在高中数学教学中的应用现状
化归方法的基本解题理念很简单。人们在解决数学问题时，常常是将要解决的问题A通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原题A的解答。尽管简单，但就全国范围来看，由于我国长期的应试性的传统教学方式以及以成绩、分数作为唯一标准的教学板式，很少有教师会将化归思想融入课堂教学中，久而久之导致学生解题思维的紊乱，学习成绩得不到较快的提高。因此，新时期新课标下的数学教学发展速度缓慢。如何改变这种现状，需要教育事业从事者以及国家社会各个方面的热切关注。
二、化归思想方法在高中数学教学中的应用
常见的转化形式有：一般与特殊的转化、数与形的转化、主与次的转化、函数与方程的转化、、整体与局部的转化等。本文就转化的方式举例分析如下：
1、一般与特殊的转化
当某问题一时无法找到解决的突破口时，可将问题特殊化，再回到一般情形进行研究。
例1、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα= 。
[解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，则与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为体对角线与该正方体侧面所成角，故cosα=■=■。
2、数与形的转化
数与形的转化是一种极其重要的转化。数与形是数学研究的两类基本对象，由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化。根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题，这种方法称数形结合法。
例2、已知实数x,y满足方程(x-3)2+y2=4，试求■的取值范围。
[解析] 由已知条件知■表示已知圆(x-3)2+y2=4上一点P（x,y）到原点的斜率（如图），不妨设其斜率为k.要使直线OP与圆有公共点当且仅当圆心O1（3，0）到直线的距离不大于圆的半径，
即■≤2→-■≤k≤■，
故■的取值范围为[-■,■]。
[评析] 数形结合，联想斜率或两点的距离公式利用解析几何方法求解，方法新颖，妙趣横生，富有创造性。
3、主与次的转化
在解与方程、不等式有关问题时，为了使代数式简单、明朗化，可采用反客为主的解题策略，将主元与参数的地位相互交换。变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化生为熟、简捷求解之作用。
例3、已知方程ax2+2(3-a)x+a-2=0中的a为负整数，求使方程至少有一个整数解时a的值。
[解析]将方程的参数a视为主元，则(x2-2x+1)a+6x-2=0，
即(x-1)2a=2-6x ∴a=■(x≠1)
∵a负整数，即a≤-1，∴a=■≤-1
即x2-8x+3≤0，
解得4-■≤x≤4+■。
因此，x整数值为2、3、4、5、6、7逐个代入a=■
得 x=2时，a=-10；
x=3时，a=-4。
故当为a=-10或a=-4时，方程至少有一个整数解。
[评析]本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在．
4、函数、方程与不等式的转化
例4、已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤■）。若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．
分析：注意0<θ≤■，则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组。
例4图 [解析] 由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x－2a－1=0．在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：
Δ=4+4a（2a+1）>0，－1<■<2，af（－1）=a（－a－3）≥0，
af（2）=a（2a+3）≥0．
解得实数a的取值范围为[-3,-■]
[评析] 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．
5、整体与局部的转化
从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例5、 一个四面体所有棱长都是■，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ）
A、2π B、3π C、4π D、2.5π
分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为■，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为■，应选B。
综上所述，作为占高中数学学习以及高中数学教学主要部分的解方程，化归思想在其中发挥了重要的作用。化归能力的提高相应的也是解决高中数学问题的关键环节，是提高数学教学水平的前提条件。学校、教师应毫不倦怠地在化归思想灌输方面做出切实的努力，为实现学生善于利用化归，发现、观察、类比、思考、总结数学问题的局面做好充足的准备。相信通过教育事业从事者的不懈努力，我国高中数学教学质量的提高定能指日可待。
参考文献：
[1]马艳，马贵：化归思想方法在中学数学教学中的应用[J]，北京教育学院学报，2012.9
[2]许青林：中学数学化归思想及其应用[J]，吕梁高等专科学校学报，2007.3
转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。
一、化归思想方法在高中数学教学中的应用现状
化归方法的基本解题理念很简单。人们在解决数学问题时，常常是将要解决的问题A通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原题A的解答。尽管简单，但就全国范围来看，由于我国长期的应试性的传统教学方式以及以成绩、分数作为唯一标准的教学板式，很少有教师会将化归思想融入课堂教学中，久而久之导致学生解题思维的紊乱，学习成绩得不到较快的提高。因此，新时期新课标下的数学教学发展速度缓慢。如何改变这种现状，需要教育事业从事者以及国家社会各个方面的热切关注。
二、化归思想方法在高中数学教学中的应用
常见的转化形式有：一般与特殊的转化、数与形的转化、主与次的转化、函数与方程的转化、、整体与局部的转化等。本文就转化的方式举例分析如下：
1、一般与特殊的转化
当某问题一时无法找到解决的突破口时，可将问题特殊化，再回到一般情形进行研究。
例1、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα= 。
[解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，则与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为体对角线与该正方体侧面所成角，故cosα=■=■。
2、数与形的转化
数与形的转化是一种极其重要的转化。数与形是数学研究的两类基本对象，由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化。根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题，这种方法称数形结合法。
例2、已知实数x,y满足方程(x-3)2+y2=4，试求■的取值范围。
[解析] 由已知条件知■表示已知圆(x-3)2+y2=4上一点P（x,y）到原点的斜率（如图），不妨设其斜率为k.要使直线OP与圆有公共点当且仅当圆心O1（3，0）到直线的距离不大于圆的半径，
即■≤2→-■≤k≤■，
故■的取值范围为[-■,■]。
[评析] 数形结合，联想斜率或两点的距离公式利用解析几何方法求解，方法新颖，妙趣横生，富有创造性。
3、主与次的转化
在解与方程、不等式有关问题时，为了使代数式简单、明朗化，可采用反客为主的解题策略，将主元与参数的地位相互交换。变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化生为熟、简捷求解之作用。
例3、已知方程ax2+2(3-a)x+a-2=0中的a为负整数，求使方程至少有一个整数解时a的值。
[解析]将方程的参数a视为主元，则(x2-2x+1)a+6x-2=0，
即(x-1)2a=2-6x ∴a=■(x≠1)
∵a负整数，即a≤-1，∴a=■≤-1
即x2-8x+3≤0，
解得4-■≤x≤4+■。
因此，x整数值为2、3、4、5、6、7逐个代入a=■
得 x=2时，a=-10；
x=3时，a=-4。
故当为a=-10或a=-4时，方程至少有一个整数解。
[评析]本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在．
4、函数、方程与不等式的转化
例4、已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤■）。若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．
分析：注意0<θ≤■，则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组。
例4图 [解析] 由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x－2a－1=0．在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：
Δ=4+4a（2a+1）>0，－1<■<2，af（－1）=a（－a－3）≥0，
af（2）=a（2a+3）≥0．
解得实数a的取值范围为[-3,-■]
[评析] 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．
5、整体与局部的转化
从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例5、 一个四面体所有棱长都是■，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ）
A、2π B、3π C、4π D、2.5π
分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为■，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为■，应选B。
综上所述，作为占高中数学学习以及高中数学教学主要部分的解方程，化归思想在其中发挥了重要的作用。化归能力的提高相应的也是解决高中数学问题的关键环节，是提高数学教学水平的前提条件。学校、教师应毫不倦怠地在化归思想灌输方面做出切实的努力，为实现学生善于利用化归，发现、观察、类比、思考、总结数学问题的局面做好充足的准备。相信通过教育事业从事者的不懈努力，我国高中数学教学质量的提高定能指日可待。
参考文献：
[1]马艳，马贵：化归思想方法在中学数学教学中的应用[J]，北京教育学院学报，2012.9
[2]许青林：中学数学化归思想及其应用[J]，吕梁高等专科学校学报，2007.3
