【正文】

      物体的平衡条件是物体所受的合外力为零，即∑F=0，其特点：

　　（1）将处于平衡状态下的物体所受外力进行正交分解时，有∑Fx=0和∑Fy=0

　　（2）物体处于平衡状态时，所受的任意一个力与其余力的合力等值反向

　　（3）物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点。这个结论称为三力汇交原理。

　　（4）物体在几个共点力的作用下处于平衡状态时，这些共点力首尾相连构成封闭的三角形或多边形。

　　解决物体的平衡问题主要是根据这些推论，再运用数学方法进行处理，下面列举一些例题来具体说明

　　1、正弦定理

　　如果在共点力的作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力的夹角正弦成正比。

　　例1 如图1(左)为一粗细不均匀的棒，长L=6米，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300。求棒的重心。

 

 

 

 

 

 

 

 

　　解析：因棒AB受到两绳的拉力及重力的作用而处于平衡状态，根据三力汇交原理，这三个力的作用线一定汇交于一点，作出棒AB的受力图(右)，据此可以找出棒的重心位置。设两绳的拉力T1、T2相交于O点，则重力G的作用线必过O点，延长与棒的交点C点即为棒的重心。

　　在ΔAOB中应用正弦定理得：

  ■=■

　　则BO=■×AB      在ΔBCO中

　　BC=BOsinβ  所以有BC=■×AB×sinβ=■×AB=2.2(米)

　　可见棒的重心在棒上A、B间，距B端2.2米处。

　　2、图解法

　　图解法是运用几何法对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形法则或三角形法则画出不同状态下的矢量图，然后根据有向线段的长度变化判断各个力的变化。

 

 

 

 

 

 

 

　　例2 如图2（左），一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

　　解析:选球为研究对象,球受三个力作用:即重力G,大小不变,方向始终竖直向下；斜面对小球的支持力F1，挡板的支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力为零，三个力构成封闭的三角形，先画重力竖直向下，大小不变，再过重力的起点平行于F1的方向画一直线，用箭头表示F1的方向，过重力的末端平行于F2方向的画直线，用箭头表示F2的方向,如图(右)。

　　有关线段分别表示F1、F2的大小，当挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，由图可见，F2先减小后增大，F1随β增大一直是减小的。

　　3、三角函数求极值

　　根据物体的平衡条件列出含三角函数的方程，并把方程化成单个三角函数的式子，应用正(余)弦函数的绝对值不大于1的性质,求出某物理量的极值。

　　例3 拉力F作用在重为G的物体上，使它沿水平地面匀速前进(如图3)，若物体与地面的滑动摩擦系数为μ，当拉力最小时力各地面的夹角θ为多大？

 

 

 

 

 

　　解析：选取物体为研究对象，它受到重力G拉力F、支持力N和滑动摩擦力为f的作用。根据平衡条件有：

　　Fcosθ-μN=0

　　Fsinθ+N-G=0

　　解得：F=■

　　设tg?渍=μ  则cos?渍=■，sin?渍=■代入上式得：

  F=■=■=■

　　由此式可得，当θ=?渍时，cos(θ-?渍)=1，拉力取最小值Fmax=■

　　4、解析法

　　解析法是通过正交分解法把矢量运算化为代数运算，即是通过选研究对象,建立直角坐标系，对研究对象进行受力分析,画受力图,再根据物体的平衡条件∑FX=0 ∑FY=0列代数方程,然后求解方程。

　　例4、如图4所示，轻杆AB和BC组成一个固定的三角形支架，重力不计的滑轮用轻绳OB系在B点，跨过滑轮的轻绳一端系一重物G=100牛，另一端在拉力T作用下使物体匀速上升，求两根轻杆所受的力（忽略滑轮的摩擦）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　　解：先选滑轮为研究对象并视为质点，其受力情况如图4-1，建立坐标系xoy，根据平衡条件有：∑Fx=Tcos300-Ncosθ=0

  ∑Fy=Nsinθ-Tsin300-G=0

　　因为物体匀速上升，所以T=G。代入以上两式解得：θ=600 N=■G=173牛

　　再选B点为研究对象，其受力情况如图4-2，建立直角坐标系xoy，根据平衡条件得：

  ∑Fx=N'cos600+FBCcos450-FABcos300=0∑Fy=FBCsin450+N'sin600-Fabsin300=0

　　将N'=N=■G=代入以上两式解得：FBC=669牛 FAB=646牛

　　根据牛顿第三定律可知，杆AB所受拉力为646牛，杆BC所受压力为669牛

　　5、相似三角形

　　在利用平行四边形定则(或三角形定则)进行受力分析时，经常遇到力构成的三角形和已知线段构成的三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。

　　例5 如图5，一球重为mg，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L（L<2R），其劲度系数为k，一端固定在圆环的最高点，一端与小球连接，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？

 

 

 

 

 

 

 

　　解析：当小球静止时，小球的受力情况为，弹簧的拉力F，沿弹簧方向；圆环对小球的支持力N，背离圆心；小球的重力mg，竖直向下如图5(左)，由受力图得到力构成的的三角形跟已知线段构成的三角形相似。

　　设平衡时弹簧的长度为L'，则F'=F=k(L'-L)。

　　根据相似三角形的比例关系得：■=■→L'=■

　　再根据直角三角形的关系得：cosθ=■=■

                θ=arcos=■